Question

21.3. Исследуйте функцию и постройте ее график: а) у = 4х – х^2;​

Answer 1

1) Область визначення функції

2) Дослідити на парність чи непарність

3) знайти точки перетину з осямм

4) знайти похідну функції

5) прирівняти похідну до нуля

6) встановити знаки похідної, та показати проміжки зростання та спадання функції

7) знайти екстремуми функції

8) намалювати графік функції

Answer 2

Для исследования функции y = 4x - x^2 и построения её графика нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции.
2. Найдите точки экстремума и интервалы возрастания/убывания.
3. Найдите точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости.
4. Найдите асимптоты, если они есть.
5. Постройте график.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции y = 4x - x^2: y' = d/dx (4x - x^2) = 4 - 2x

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы найти точки экстремума: 4 - 2x = 0 2x = 4 x = 2

   Точка x = 2 является критической точкой функции.

3. Теперь определим интервалы возрастания и убывания, используя производную: Для x < 2, производная положительна (4 - 2x > 0), поэтому функция возрастает на интервале (-∞, 2). Для x > 2, производная отрицательна (4 - 2x < 0), поэтому функция убывает на интервале (2, ∞).

4. Теперь найдем точки перегиба, используя вторую производную: y'' = d^2/dx^2 (4 - 2x) = -2

   Вторая производная постоянно отрицательна, поэтому у функции нет точек перегиба.

5. Найдем асимптоты: a) Горизонтальная асимптота: Поскольку x^2 вносит наибольший вклад при больших значениях x, то график функции будет стремиться к горизонтальной асимптоте у = -∞ при x → ±∞.

Теперь мы готовы построить график функции:

• График будет возрастать на интервале (-∞, 2).
• График будет убывать на интервале (2, ∞).
• Горизонтальная асимптота: y = -∞ при x → ±∞.
• Критическая точка x = 2 будет точкой максимума на графике.

Давайте построим график функции y = 4x - x^2:

(Здесь я не могу фактически построить график, так как это текстовое окружение, но вы можете использовать графическую программу или калькулятор, чтобы нарисовать его, зная вышеприведенные результаты и характеристики графика функции.)