Question

Знайдіть точки екстремуму функції y=2x^3+6x^2-18x

Answer 1

Після запису всього того що на фото, пишемо:

Отже, похідна змінює знак тільки в точках x=1 і x=-3.

У точці x=-3 вона змінює знак з додатного на від'ємний, отже, це точка локального максимуму зі значенням функції f(-3)=54.

У точці x=1 вона змінює знак з від'ємного на додатний, отже, це точка локального мінімуму зі значенням функції f(1)=-10.

Answer 2

Щоб знайти точки екстремуму функції $y = 2x^3 + 6x^2 - 18x$, спершу знайдемо похідну цієї функції та розв'яжемо рівняння $\frac{dy}{dx} = 0$, а потім перевіримо значення другої похідної, щоб визначити характер точок екстремуму.

Похідна функції $y$ відносно $x$ дається виразом:

$y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 6x^2 - 18x)$

Застосуємо правила диференціювання:

$y' = 6x^2 + 12x - 18$

Тепер знайдемо точки, де похідна рівна нулю:

$6x^2 + 12x - 18 = 0$

Для спрощення цього рівняння розділимо всі його члени на 6:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння. Ми можемо скористатися квадратною формулою:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

де $a = 1$, $b = 2$, і $c = -3$. Підставляючи ці значення, ми отримаємо два можливих значення $x$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$

Таким чином, у нас є дві можливі точки екстремуму: $x_1 = 1$ і $x_2 = -3$. Тепер ми повинні знайти відповідні значення $y$ для цих $x$-ів:

Для $x = 1$: $y(1) = 2(1)^3 + 6(1)^2 - 18(1) = 2 + 6 - 18 = -10$

Для $x = -3$: $y(-3) = 2(-3)^3 + 6(-3)^2 - 18(-3) = -54 + 54 + 54 = 54$

Таким чином, точка $(1, -10)$ є локальним максимумом, а точка $(-3, 54)$ є локальним мінімумом функції $y = 2x^3 + 6x^2 - 18x$.