Question

Докажите тождество:4cosa cos(60°-a)cos(60°+a)=cos3a​

Answer 1

Объяснение:

$4*cos\alpha *cos(60^0-\alpha )*cos(60^0+\alpha )=2*cos\alpha *(2*cos(60^0-\alpha )*cos(60^0+\alpha ))=\\=2*cos\alpha *(cos(60^0-\alpha +60^0+\alpha )+cos(60^0-\alpha -60^0-\alpha )=\\=2*cos\alpha *(cos120^0+cos(-2\alpha ))=2*cos\alpha *(cos(90^0+30^0)+cos2\alpha )=\\=2*cos\alpha *(-sin30^0+cos2\alpha )=-2*\frac{1}{2}*cos\alpha +2*cos2\alpha *cos\alpha =\\ =-cos\alpha +cos(2\alpha +\alpha )+cos(2\alpha -\alpha )=-cos\alpha +cos3\alpha +cos\alpha =cos3\alpha .$

Answer 2

Решение во вложении...

Answer 3

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать тригонометрические идентичности. Давайте разберемся с ними поочередно.

1. Начнем с идентичности для суммы углов:

   cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

2. Теперь, используя эту идентичность, мы можем выразить cos(60° - a)cos(60° + a):

   cos(60° - a)cos(60° + a) = [cos(60°)cos(a) - sin(60°)sin(a)][cos(60°)cos(a) + sin(60°)sin(a)]

3. Здесь мы замечаем, что sin(60°) = sqrt(3)/2 и cos(60°) = 1/2:

   cos(60° - a)cos(60° + a) = [(1/2)cos(a) - (sqrt(3)/2)sin(a)][(1/2)cos(a) + (sqrt(3)/2)sin(a)]

4. Умножим обе части этого уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

   4cos(60° - a)cos(60° + a) = 4[(1/2)cos(a) - (sqrt(3)/2)sin(a)][(1/2)cos(a) + (sqrt(3)/2)sin(a)]

5. Теперь умножим правую сторону уравнения на 2, чтобы упростить его:

   4cos(60° - a)cos(60° + a) = 2[2(1/2)cos(a) - 2(sqrt(3)/2)sin(a)][(1/2)cos(a) + (sqrt(3)/2)sin(a)]

6. Упростим правую сторону, преобразуя выражения в скобках:

   4cos(60° - a)cos(60° + a) = 2[cos(a) - sqrt(3)sin(a)][(1/2)cos(a) + (sqrt(3)/2)sin(a)]

7. Раскроем скобки на правой стороне:

   4cos(60° - a)cos(60° + a) = cos(a)(1/2)cos(a) + cos(a)(sqrt(3)/2)sin(a) - sqrt(3)sin(a)(1/2)cos(a) - sqrt(3)sin(a)(sqrt(3)/2)sin(a)

8. Упростим каждый член:

   4cos(60° - a)cos(60° + a) = (1/2)cos^2(a) + (sqrt(3)/2)cos(a)sin(a) - (sqrt(3)/2)cos(a)sin(a) - (3/2)sin^2(a)

9. Теперь объединим средние члены, которые упрощаются:

   4cos(60° - a)cos(60° + a) = (1/2)cos^2(a) - (3/2)sin^2(a)

10. Используем тригонометрическую идентичность для cos(2a):

    cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

11. Подставим эту идентичность в уравнение:

    4cos(60° - a)cos(60° + a) = (1/2)[cos(2a)]

12. Теперь умножим обе стороны на 8, чтобы получить тождество:

    4cos(60° - a)cos(60° + a) = 4cos(2a)

Таким образом, мы доказали тождество:

4cos(60° - a)cos(60° + a) = 4cos(2a)