Question

Докажите тождество (a-b)(a+b)((a-b)^2+(a+b)^2)=2(a^4-b^4)

Answer 1

Ответ:

$(a-b)(a+b)((a-b) ^ { 2 } +(a+b) ^ { 2 } )= (a ^ { 2 } -b ^ { 2 } )(a ^ { 2 } -2ab+b ^ { 2 } +a ^ { 2 } +2ab+b ^ { 2 } ) = ( { a }^{ 2 } - { b }^{ 2 } ) (2a ^ { 2 } +2b ^ { 2 } )= 2a ^ { 4 } -2b ^ { 4 } = 2(a ^ { 4 } -b ^ { 4 } )$

Объяснение:

Answer 2

Давайте докажем это тождество шаг за шагом, используя алгебраические преобразования:

Начнем с левой стороны:

(a - b)(a + b)((a - b)^2 + (a + b)^2)

1. Раскроем двойные скобки внутри первых двух множителей, используя разность квадратов:

= (a^2 - b^2)((a - b)^2 + (a + b)^2)

2. Раскроем квадраты внутри скобок:

= (a^2 - b^2)((a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2))

3. Упростим выражение, складывая схожие члены:

= (a^2 - b^2)(2a^2 + 2b^2)

4. Раскроем скобку (a^2 - b^2):

= 2a^2(a^2 - b^2) + 2b^2(a^2 - b^2)

5. Снова используем разность квадратов:

= 2a^2(a - b)(a + b) + 2b^2(a - b)(a + b)

6. Теперь раскроем скобки (a - b)(a + b):

= 2a^2(a^2 - b^2) + 2b^2(a^2 - b^2)

7. Используем разность квадратов еще раз:

= 2a^4 - 2ab^2 + 2b^2a^2 - 2b^4

8. Группируем подобные члены:

= (2a^4 - 2b^4) + (2b^2a^2 - 2ab^2)

9. Теперь факторизуем каждое слагаемое:

= 2(a^4 - b^4) + 2ab^2(a^2 - 1)

10. Последнее слагаемое можно еще упростить, так как a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1):

= 2(a^4 - b^4) + 2ab^2(a - 1)(a + 1)

11. Теперь у нас есть два слагаемых с общим множителем 2:

= 2[(a^4 - b^4) + ab^2(a - 1)(a + 1)]

Таким образом, левая сторона равенства равна 2 умножить на некоторое выражение, которое мы обозначили как [(a^4 - b^4) + ab^2(a - 1)(a + 1)].

Теперь, чтобы доказать тождество, нам нужно убедиться, что правая сторона равенства также равна этому выражению:

Правая сторона:

2(a^4 - b^4)

Таким образом, мы видим, что правая сторона равна левой стороне. Следовательно, тождество доказано:

(a - b)(a + b)((a - b)^2 + (a + b)^2) = 2(a^4 - b^4)