Question

Розв'яжіть рівняння cos2x+3sinx=2. У відповідь запишіть КІЛЬКІСТЬ коренів цього рівняння на проміжку [0;2π]

Answer 1

Ответ:

отрезку принадлежит 3 корня

Объяснение:cos2x+3sinx=2

cos2x=1-2sin²x

1-2sin²x+3sinx=2

2sin²x-3sinx+1=0

замена переменной sinx=t

2t²-3t+1=0

t=(3+-sqrt(9-8))/4=(3+-1)/4

t1=1

t2=1/2

вернемся к нсчальной переменной

sinx=1 x=П/2+2Пk , отрезку принадлежит 1 корень П/2

sinx=1/2 x=(-1)^kП/6+Пk, отрезку принадлежит 2 корня

П/6 и 5П/6

Answer 2

Давайте спробуємо розв'язати рівняння cos(2x) + 3sin(x) = 2.

Спершу перепишемо sin(x) у вигляді cos(x), використовуючи ідентичність sin(x) = √(1 - cos^2(x)):

cos(2x) + 3√(1 - cos^2(x)) = 2.

Тепер ми можемо спростити рівняння, піднімаючи обидві сторони до квадрата:

cos^2(2x) + 9(1 - cos^2(x)) = 4.

Розглянемо тепер cos^2(2x) як (cos(2x))^2, і врахуємо те, що (cos(2x))^2 = (cos^2(x) - sin^2(x))^2 = cos^4(x) - 2cos^2(x)sin^2(x) + sin^4(x), де ми використовуємо ідентичність sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

(cos^4(x) - 2cos^2(x)sin^2(x) + sin^4(x)) + 9(1 - cos^2(x)) = 4.

Тепер позначимо cos^2(x) як y, і ми отримаємо квадратне рівняння:

(y^2 - 2(1 - y)y + (1 - y^2)) + 9(1 - y) = 4.

Згрупуємо подібні члени:

y^2 - 2y + y^2 + 9 - 9y = 4.

2y^2 - 9y + 5 = 4.

2y^2 - 9y + 5 - 4 = 0.

2y^2 - 9y + 1 = 0.

Тепер ми маємо квадратне рівняння відносно y. Можемо використати квадратну формулу для знаходження його коренів:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a),

де a = 2, b = -9 і c = 1.

y = (9 ± √((-9)² - 4 * 2 * 1)) / (2 * 2),

y = (9 ± √(81 - 8)) / 4,

y = (9 ± √73) / 4.

Отже, ми маємо два можливих значення для y.

Тепер згадаймо, що y = cos^2(x). Ми можемо взяти квадратний корінь від обох значень y:

1. cos(x) = √((9 + √73) / 4),
2. cos(x) = √((9 - √73) / 4).

Далі знайдемо відповідні значення x, використовуючи обернені косинуси:

1. x₁ = arccos(√((9 + √73) / 4)),
2. x₂ = arccos(√((9 - √73) / 4)).

Таким чином, ми знайшли два можливих корені для рівняння на проміжку [0; 2π]. Однак ми ще не врахували можливі області, де ці корені можуть бути. Ми повинні розглянути область, в якій cos(x) може мати такі значення.

Зауважимо, що cos(x) може приймати значення від -1 до 1. Отже, область, в якій можливі корені, це:

-1 ≤ cos(x) ≤ 1.

Це означає, що x₁ і x₂, які ми знайшли раніше, повинні бути в межах [0; 2π] і задовольняти область:

0 ≤ x₁, x₂ ≤ 2π.

Тепер ми можемо перевірити, скільки зі знайдених значень x₁ і x₂ задовольняють цю область. Якщо обидва значення x₁ і x₂ лежать в цій області, то є два корені на проміжку [0; 2π]. Якщо тільки одне значення задовольняє цю область, то є лише один корінь на цьому проміжку.

Розглянемо область для кожного з x₁ і x₂:

Для x₁: 0 ≤ x₁ ≤ 2π.

Для x₂: 0 ≤ x₂ ≤ 2π.

Обидва значення x₁ і x₂ лежать в області [0; 2π].

Отже, на проміжку [0; 2π] у рівнянні cos(2x) + 3sin(x) = 2 є ДВА корені.