Question

Знайти об'єм тіла обертання навколо осі Ох, що обмежено лініями 2у+х=0, у=1, у=2, х=0 . Допоможіть будь-ласка!!!

Answer 1

Объяснение:

$></p> <p><img src=$

$></p> <p><img src=$

Ответ: V≈8,3776 куб. ед.

Answer 2

Для знаходження об'єму тіла обертання навколо осі Ox, що обмежено вказаними лініями, вам потрібно використовувати інтегральний метод об'ємних інтегралів. Об'єм такого тіла можна знайти інтегруючи функцію об'єму по відповідному діапазону.

Спочатку знайдемо границі інтегрування. Вам потрібно інтегрувати вздовж вісі Ox, яка обмежена лініями у=1 та у=2, і вздовж вісі Oy, яка обмежена лініями 2у+х=0 та х=0.

Лінія 2у+х=0 перетинаєся з у=1 із значенням x=-2, і з у=2 із значенням x=-4. Таким чином, ми будемо інтегрувати за x від -4 до -2 та за y від 1 до 2.

Об'єм тіла обертання може бути обчислений за допомогою такого інтегралу:

$V = \int_{-4}^{-2} \int_{1}^{2} f(x, y) \, dy \, dx$

Де f(x, y) - це функція об'єму тіла. В цьому випадку, функція об'єму буде пропорційною до квадрату відстані від точки (x, y) до осі Ox (осі обертання).

Формула для обчислення об'єму тіла обертання вздовж Ox виглядає так:

$dV = \pi y^2 \, dx$

Таким чином, функція об'єму f(x, y) = $\pi y^2$.

Тепер ми можемо обчислити об'єм:

$V = \int_{-4}^{-2} \int_{1}^{2} \pi y^2 \, dy \, dx$

$V = \pi \int_{-4}^{-2} \left[\frac{y^3}{3}\right]_{1}^{2} \, dx$

$V = \pi \int_{-4}^{-2} \left(\frac{8}{3} - \frac{1}{3}\right) \, dx$

$V = \pi \int_{-4}^{-2} \frac{7}{3} \, dx$

$V = \frac{7\pi}{3} \int_{-4}^{-2} \, dx$

Тепер інтегруємо за x від -4 до -2:

$V = \frac{7\pi}{3} \left[x\right]_{-4}^{-2}$

$V = \frac{7\pi}{3} \left(-2 + 4\right)$

$V = \frac{7\pi}{3} \cdot 2$

$V = \frac{14\pi}{3}$

Отже, об'єм тіла обертання навколо осі Ox, обмеженого лініями 2у+х=0, у=1, у=2, і х=0, дорівнює $\frac{14\pi}{3}$.