Question

Фігура, обмежена лініями y² = 4x, y=0, x=4 обертається навколо осі Ох. Знайти об'єм утвореного тiла обертання. даю 40 балів

Answer 1

Ответ:

Формула для вычисления объёма тела вращения вокруг оси ОХ

 $\displaystyle V=\pi \int\limits^{a}_{b}\, y^2(x)\, dx$    

$y^2=4x\ \ ,\ \ y=0\ \ ,\ \ x=4$

$\displaystyle V=\pi \int\limits_0^4\, 4x\, dx=4\pi \cdot \dfrac{x^2}{2}\, \Big|_0^4=4\pi \cdot \dfrac{4^2}{2}=32\pi$   (куб.ед.)  

Answer 2

Задача на знаходження об'єму тіла обертання

У цій задачі нам потрібно знайти об'єм тіла, яке утворюється обертанням певної фігури навколо вісі Ох. Для цього нам спочатку потрібно знайти функцію, що описує фігуру, а потім скористатися формулою для знаходження об'єму тіла обертання.

Знаходження функції, що описує фігуру

Фігура, обмежена лініями \(y^2 = 4x\), \(y = 0\), \(x = 4\), є частиною параболи та дотичної прямої. Щоб знайти функцію, яка описує цю фігуру, розв'яжемо систему рівнянь.

Почнемо з рівняння \(y^2 = 4x\), звідки отримаємо \(y = \pm \sqrt{4x}\). Таким чином, функції, що описують верхню та нижню межі фігури, є \(y = \sqrt{4x}\) та \(y = -\sqrt{4x}\) відповідно.

Також маємо \(y = 0\) та \(x = 4\), які представляють собою дотичну пряму та вертикальну лінію відповідно.

Знаходження об'єму тіла обертання

Для знаходження об'єму тіла обертання скористаємося формулою об'єму тіла обертання:

\[V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx\]

де \(\pi\) - це число Пі, \(f(x)\) - функція, що описує криву, а \(a\) та \(b\) - точки перетину кривої з віссю обертання.

У нашому випадку, функції, що описують верхню та нижню межі фігури, є \(y = \sqrt{4x}\) та \(y = -\sqrt{4x}\) відповідно, а точки перетину з віссю обертання є \(x = 0\) та \(x = 4\).

Тож, об'єм тіла обертання буде обчислюватися за формулою:

\[V = \pi \int_{0}^{4} [(\sqrt{4x})^2 - (-\sqrt{4x})^2] dx\]

\[V = \pi \int_{0}^{4} (4x - 4x) dx\]

\[V = \pi \int_{0}^{4} 0 dx\]

\[V = 0\]

Отже, об'єм тіла обертання, утвореного обертанням даної фігури, дорівнює 0.