Question

Маховик обертається навколо осі за законом Ф(t)=t^2+2. Знайдіть його кутову швидкість ω у момент часу t=3c ( кут обертання в радіанах, кутова швидкість у радіанах на секунду)

Answer 1

$\displaystyle\bf\\F(t)=t^{2} +2\\\\V(t)=F'(t)=(t^{2} )'+2'=2t+0=2t\\\\V(3)=2\cdot 3=6$

Answer 2

Для знаходження кутової швидкості маховика у момент часу t=3 с, спочатку необхідно знайти кут обертання маховика в цей момент.

Кут обертання маховика можна знайти, інтегруючи функцію Ф(t) від початкового моменту часу до моменту t=3 с:

θ(t) = ∫[0 to 3] Ф(t) dt

Для даної функції Ф(t) = t^2 + 2, можемо знайти кут обертання:

θ(t) = ∫[0 to 3] (t^2 + 2) dt

= [ (1/3) * t^3 + 2t ] [0 to 3]

= [(1/3) * 3^3 + 2 * 3] - [(1/3) * 0^3 + 2 * 0]

= (1/3) * 27 + 6 - 0

= 9 + 6

= 15 рад

Отже, кут обертання маховика у момент часу t=3 с становить 15 радіан.

Кутова швидкість (ω) визначається як похідна кута обертання за відношенням до часу:

ω = dθ(t) / dt

Для знаходження кутової швидкості в момент часу t=3 с, ми можемо взяти похідну кута обертання по відношенню до часу:

ω = dθ(t) / dt = d/dt [(1/3) * t^3 + 2t]

= (1/3) * d/dt (t^3) + d/dt (2t)

= (1/3) * 3t^2 + 2

= t^2 + 2

Підставляючи значення t=3 с, отримаємо:

ω = (3^2) + 2

= 9 + 2

= 11 рад/с

Отже, кутова швидкість маховика у момент часу t=3 с становить 11 рад/с.