Question

Решите неравенство: log_(3-x)⁡(x^2-5x+6)<1

Answer 1

Объяснение:

$log_{3-x}(x^2-5x+6) < 1.$

                                                     ОДЗ:

$> 0\\x^2-5x+6 > 0\end{array}\right \ \ \ \ \ \left\{\begin{array}{ccc}x\neq 2\\x < 3\\x^2-2x-3x+6 > 0\end{array}\right \ \ \ \ \ \left\{\begin{array}{ccc}x\neq 2\\x < 3\\x*(x-3)-3*(x-2) > 0\end{array}\right \\\left\{\begin{array}{ccc}x\neq 2\\x < 3\\(x-2)*(x-3) > 0\end{array}\right \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{array}{ccc}x\neq 2\\x\in(-\infty;3)\\x\in(-\infty;2)U(3;+\infty)\end{array}\right \ \ \ \ \ \Rightarrow$

                                                  $x\in(-\infty;2).$

1.    0<3-x<1           -3<-x<-2 |*(-1)          2<x<3 ∉ОДЗ.

2.    3-x>1      x<2       ⇒       x∈(-∞;2).

$log_{3-x}(x^2-5x+6) < log_{3-x}(3-x)\\x^2-5x+6 < 3-x\\x^2-4x+3 < 0\\x^2-x-3x+3 < 0\\x*(x-1)-3*(x-1) < 0\\(x-1)*(x-3) < 0.$

-∞__-__1__+__3__+__+∞            ⇒

                           x∈(1;3).             ⇒

Ответ: x∈(1;2).

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с выражения его в экспоненциальной форме. Напомним, что если у нас есть неравенство вида:

$\log_{a}(b) < c$

Тогда оно эквивалентно следующему неравенству:

$b < a^c$

В вашем случае:

$\log_{3-x}(x^2 - 5x + 6) < 1$

Стало бы:

$x^2 - 5x + 6 < (3-x)^1$

Итак, мы теперь имеем квадратное уравнение, которое нужно решить:

$x^2 - 5x + 6 < 3 - x$

Переносим все члены на одну сторону:

$x^2 - 5x + 6 - 3 + x < 0$

Упрощаем:

$x^2 - 4x + 3 < 0$

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Это уравнение можно разложить на множители:

$(x-3)(x-1) < 0$

Теперь определим интервалы, на которых это неравенство выполняется. Нам нужно, чтобы выражение было отрицательным:

1. $x-3 < 0$ и $x-1 > 0$ - это верно, когда $1 < x < 3$.
2. $x-3 > 0$ и $x-1 < 0$ - это верно, когда $x < 1$ и $x > 3$.

Итак, неравенство $x^2 - 4x + 3 < 0$ выполняется на интервалах $1 < x < 3$ и $x < 1$ и $x > 3$.

Таким образом, решением исходного неравенства $\log_{3-x}(x^2 - 5x + 6) < 1$ являются все значения x, которые принадлежат интервалам $1 < x < 3$ и $x < 1$ и $x > 3$.