Question

Дано (3x4-2x² +2) - (4x - x² +1)². Найдите а) степень многочлена; 6) старший коэффициент и свободный член в) сумму коэффициентов многочлена; г) сумму коэффициентов при четных степенях.

Answer 1

Ответ:

Преобразуем выражение в многочлен стандартного вида

$\bf (3x^4-2x^2+2)-(4x-x^2+1)^2=\\\\=3x^4-2x^2+2-(16x^2+x^4+1-8x^3-2x^2+8x)=\\\\=2x^4+8x^3-16x^2-8x+1$  

Степень многочлена равна  n=4 .

Старший коэффициент равен  2 , свободный член равен 1 .

Сумма коэффициентов многочлена равна  2+8-16-8+1= -13 .

Сумма коэффициентов при чётных степенях равна  2-16=1= -13 .

Замечание.

Формула:  $\bf (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$  , отсюда

                   $\bf (a-b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac$  .

Answer 2

Давайте посчитаем каждый из заданных параметров для данного многочлена:

1. Степень многочлена: Для определения степени многочлена нам нужно найти максимальную степень переменной x в выражении. Посмотрим на каждое слагаемое:

a) 3x^4 - 2x^2 + 2 - это слагаемое имеет степень 4 (наивысшая степень x в этом слагаемом). b) (4x - x^2 + 1)² - это слагаемое также имеет степень 4, так как (4x - x^2 + 1) возводится в квадрат.

Поскольку оба слагаемых имеют одинаковую степень (4), то и весь многочлен имеет степень 4.

2. Старший коэффициент: Старший коэффициент - это коэффициент при наивысшей степени переменной x, то есть коэффициент при x^4. Давайте найдем его:

a) 3x^4 - 2x^2 + 2 - старший коэффициент равен 3. b) (4x - x^2 + 1)² - старший коэффициент при x^4 равен 0, так как x^4 отсутствует в этом слагаемом.

Старший коэффициент всего многочлена равен 3.

3. Свободный член: Свободный член - это коэффициент при x^0, то есть константа. Давайте найдем его:

a) 3x^4 - 2x^2 + 2 - свободный член равен 2. b) (4x - x^2 + 1)² - свободный член равен 1, так как это константа.

Сумма коэффициентов многочлена: Для этого просто сложим все коэффициенты в многочлене:

a) 3 + (-2) + 2 = 3 - 2 + 2 = 3. b) 4 + (-1) + 1 = 4 - 1 + 1 = 4.

Сумма коэффициентов всего многочлена равна 3 + 4 = 7.

Сумма коэффициентов при четных степенях: Для этого сложим коэффициенты при x^4 и x^2:

a) Коэффициент при x^4 = 3. b) Коэффициент при x^4 (во втором слагаемом) = 0. a) Коэффициент при x^2 = -2. b) Коэффициент при x^2 (во втором слагаемом) = -1.

Сумма коэффициентов при четных степенях равна 3 + 0 - 2 - 1 = 0.

Итак, ответы: а) Степень многочлена: 4. б) Старший коэффициент: 3. в) Сумма коэффициентов многочлена: 7. г) Сумма коэффициентов при четных степенях: 0.