Question

8. Розв'яжіть систему рiвнянь y² - xy = 2, 2у² + 3ху - 14.​

Answer 1

Ответ:

(1; 2), (-1; -2)

Объяснение:

Пусть $u=y^2,v=xy$. Тогда

$\displaystyle \left \{ {{u-v=2,} \atop {2u+3v=14}} \right. \left \{ {{u=v+2,} \atop {2(v+2)+3v=14}} \right. \left \{ {{u=v+2,} \atop {5v=10}} \right. \left \{ {{u=4,} \atop {v=2}} \right.$

Сделаем обратную замену:

$\displaystyle \left \{ {{y^2=4,} \atop {xy=2}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{y=2} \atop {2x=2}} \right.$ или $\displaystyle \left \{ {{y=-2} \atop {-2x=2}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{y=2} \atop {x=1}} \right.$ или $\displaystyle \left \{ {{y=-2} \atop {x=-1}} \right.$

Answer 2

Для того чтобы решить данную систему уравнений, мы можем воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных. Давайте воспользуемся методом подстановки. Сначала мы выразим одну из переменных из одного из уравнений и подставим это выражение в другое уравнение. В данной системе уравнений у нас две переменные, y и x.

1. Рассмотрим первое уравнение: y² - xy = 2. Выразим x из этого уравнения:

   x = y² / y - 2 / y

2. Теперь подставим это выражение для x во второе уравнение:

   2y² + 3(y² / y - 2 / y)y - 14 = 0

3. Упростим уравнение:

   2y² + 3y² - 6 - 14 = 0

4. Сгруппируем слагаемые:

   5y² - 20 = 0

5. Решим получившееся квадратное уравнение:

   5y² - 20 = 0

   5y² = 20

   y² = 20 / 5

   y² = 4

6. Возьмем квадратный корень с обеих сторон:

   y = ±2

Теперь у нас есть два значения для y: y = 2 и y = -2. Мы можем подставить каждое из них в выражение для x:

Для y = 2: x = (2²) / 2 - 2 / 2 = 2 - 1 = 1

Для y = -2: x = (-2²) / (-2) - (-2 / -2) = -4 + 1 = -3

Итак, у нас есть две пары значений (x, y), которые удовлетворяют данной системе уравнений:

1. x = 1, y = 2
2. x = -3, y = -2

Проверим, подставив их в исходные уравнения:

Для x = 1 и y = 2:

1. y² - xy = 2 (2)² - (1)(2) = 4 - 2 = 2
2. 2y² + 3xy - 14 = 0 2(2)² + 3(1)(2) - 14 = 8 + 6 - 14 = 14 - 14 = 0

Для x = -3 и y = -2:

1. y² - xy = 2 (-2)² - (-3)(-2) = 4 + 6 = 10
2. 2y² + 3xy - 14 = 0 2(-2)² + 3(-3)(-2) - 14 = 8 + 18 - 14 = 26 - 14 = 12

Оба набора значений (x, y) подходят для системы уравнений, и ответом являются две пары решений:

1. x = 1, y = 2
2. x = -3, y = -2