Question

Знайти всі корені рівняння sinx cosx-√3 cos²x=0, які задовольняють нерівність 0<x<3​

Answer 1

Ответ:

Условие  0<x<3  предполагает , что угол  х  изменяется в радианах, что примерно соответствует  условию  0°<x<171,9°  , то есть угол  х  лежит в 1 и 2 четвертях .

$\bf sinx\cdot cosx-\sqrt3\, cos^2x=0\\\\cosx\cdot (sinx-\sqrt3\, cosx)=0\\\\a)\ \ cosx=0\ \ ,\ \ x_1=\dfrac{\pi }{2}+\pi k\ ,\ k\in Z\\\\b)\ \ sinx-\sqrt3\, cosx=0\ \Big|:2\\\\ \dfrac{1}{2}\ sinx-\dfrac{\sqrt3}{2}\, cosx=0\\\\cos\dfrac{\pi }{3}\cdot sinx-sin\dfrac{\pi }{3}\cdot cosx=0\\\\sin\Big(x-\dfrac{\pi}{3}\Big)=0\\\\x-\dfrac{\pi}{3}=\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\x_2=\dfrac{\pi}{3}+\pi n\ \ ,\ n\in Z$  

$\bf c)\ \ 0 < x < 3\ \ \Rightarrow \ \ \ x=\dfrac{\pi }{3}\ ,\ x=\dfrac{\pi }{2}$  

Ответ:

             $\bf x_1=\dfrac{\pi }{2}+\pi k\ ,\ x_2=\dfrac{\pi }{3}+\pi n\ \ ,\ k,n\in Z\ ;\\\\0 < x < 3\ \ \Rightarrow \ \ \ x=\dfrac{\pi }{3}\ ,\ x=\dfrac{\pi }{2}$

Answer 2

Давайте спробуємо знайти всі корені рівняння $\sin(x) \cos(x) - \sqrt{3} \cos^2(x) = 0$, які задовольняють нерівність $0 < x < \frac{3\pi}{2}$.

Спочатку ми можемо спростити рівняння. Замінимо $\cos^2(x)$ на $1 - \sin^2(x)$:

$\sin(x) \cos(x) - \sqrt{3}(1 - \sin^2(x)) = 0$.

Тепер ми маємо:

$\sin(x) \cos(x) - \sqrt{3} + \sqrt{3}\sin^2(x) = 0$.

Поділимо обидві сторони на $\cos(x)$ (за умовою $0 < x < \frac{3\pi}{2}$, $\cos(x)$ є додатним):

$\sin(x) - \sqrt{3}\cot(x) + \sqrt{3}\sin(x) = 0$.

Тепер можемо об'єднати два додатки, містять $\sin(x)$:

$(1 + \sqrt{3})\sin(x) - \sqrt{3}\cot(x) = 0$.

Тепер ми маємо:

$\sin(x)(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{3}\cot(x) = 0$.

Зробимо заміну $t = \tan(x)$. Тоді $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{1}{t}$.

Рівняння стає:

$\sin(x)(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{3}\cdot \frac{1}{t} = 0$.

Помножимо обидві сторони на $t$ для позбавленняся від дробу:

$\sin(x)(1 + \sqrt{3})t - \sqrt{3} = 0$.

Тепер розв'яжемо це рівняння для $t$:

$(1 + \sqrt{3})t = \sqrt{3}$.

$t = \frac{\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$.

Знайдемо значення $x$ за допомогою арктангенсу:

$x = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}\right)$.

Тепер знайдемо значення $x$:

$x \approx 0.5236$ радіан (заокруглимо до 4 знаків після коми).

Отже, рівняння $\sin(x) \cos(x) - \sqrt{3} \cos^2(x) = 0$