Question

У геометричній прогресії (bn) b3=18, b5= 162,q >0. Знайди знаменник геометричної прогресії та суму п'яти перших членів цієї прогресії.

Answer 1

Ответ:

:)

Объяснение:

Используя формулу для нахождения члена геометрической прогрессии, можно составить систему уравнений:

b3 = b1  q^2 = 18

b5 = b1  q^4 = 162

Разделив второе уравнение на первое, получаем:

q^2 = 9

Отсюда:

q = 3 (так как q > 0)

Используя найденное значение q, можем найти первый член прогрессии:

b1 = b3 / q^2 = 2

Теперь можем найти пять первых членов прогрессии:

b1 = 2

b2 = b1  q = 6

b3 = b2  q = 18

b4 = b3  q = 54

b5 = b4  q = 162

Ответ: знаменатель геометрической прогрессии равен 3, первые пять членов прогрессии: 2, 6, 18, 54, 162.

Answer 2

Дано геометричну прогресію зі знаменником $q$, і відомі значення третього та п'ятого членів:

$b_3 = 18$ і $b_5 = 162$.

Виразимо ці члени через загальний вираз геометричної прогресії:

$b_3 = b_1 \times q^2$ і $b_5 = b_1 \times q^4$.

Отже, ми можемо записати систему рівнянь:

$$\begin{align*} 18 &= b_1 \times q^2 \\ 162 &= b_1 \times q^4 \end{align*}$$

Розділимо друге рівняння на перше, щоб отримати значення $q$:

$$\frac{162}{18} = q^4 \implies q = \left(\frac{162}{18}\right)^{\frac{1}{4}} = 3$$

Тепер ми знаємо знаменник $q = 3$.

Щоб знайти загальний член $b_1$, використаємо перше рівняння:

$18 = b_1 \times 3^2 \implies b_1 = \frac{18}{9} = 2$.

Тепер ми можемо знайти суму перших п'яти членів геометричної прогресії використовуючи формулу суми геометричної прогресії:

$$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1}$$

Підставляючи значення $b_1 = 2$ та $q = 3$, ми отримаємо:

$$S_5 = \frac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(243 - 1)}{2} = \frac{2 \times 242}{2} = 242$$

Таким чином, сума п'яти перших членів цієї геометричної прогресії дорівнює 242.