Question

Даны произвольные числа a, b, c докажите что из трех чисел a+c-4b²,a+b-4c²,b+c-4a² обязательно найдется такое,которое будет не больше ¼ чтоб было расписанно нужно (пожалуйста)

Answer 1

Предположим, что все три числа: a + c - 4b², a + b - 4c² и b + c - 4a² больше 1/4.

Так как все три числа больше 1/4, мы можем записать следующие неравенства:

a + c - 4b² > 1/4 ...(1)

a + b - 4c² > 1/4 ...(2)

b + c - 4a² > 1/4 ...(3)

Теперь сложим все три неравенства:

2(a + b + c) - 4(a² + b² + c²) > 3/4

Упростим выражение:

2(a + b + c) > 4(a² + b² + c²) + 3/4

8(a + b + c) > 16(a² + b² + c²) + 3

Так как a, b и c являются произвольными числами, мы можем взять пример, где a, b и c близки к нулю, чтобы показать, что это неравенство неверно. Например, возьмем a = b = c = 0.01.

Тогда:

8(0.01 + 0.01 + 0.01) > 16(0.01² + 0.01² + 0.01²) + 3

0.24 > 0.48 + 3

0.24 > 3.48

Таким образом, мы пришли к противоречию, исходное предположение неверно. Значит, среди трех чисел a + c - 4b², a + b - 4c² и b + c - 4a² обязательно найдется число, которое не больше 1/4.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте предположим обратное, то есть предположим, что ни одно из чисел a+c-4b², a+b-4c², b+c-4a² не является не больше 1/4.

Мы можем записать это в виде следующих неравенств:

1. a+c-4b² > 1/4
2. a+b-4c² > 1/4
3. b+c-4a² > 1/4

Теперь сложим все три неравенства:

(a+c-4b²) + (a+b-4c²) + (b+c-4a²) > 1/4 + 1/4 + 1/4

Упростим левую сторону:

2(a+b+c) - 4(a²+b²+c²) > 3/4

Теперь рассмотрим левую сторону выражения. Мы видим, что это 2(a+b+c) минус 4(a²+b²+c²), что можно записать как:

2(a+b+c) - 4(a²+b²+c²) = 2(a+b+c) - 4(a²+b²+c²) + 2(a²+b²+c²)

Заметим, что правая часть данного выражения равна:

2(a+b+c) - 2(a²+b²+c²)

Мы можем использовать неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным:

2(a+b+c) - 2(a²+b²+c²) ≥ 2 * 3√[(a+b+c)(a²+b²+c²)²] (по неравенству AM-GM)

Теперь, мы видим, что левая сторона выражения не меньше чем 2 * 3√[(a+b+c)(a²+b²+c²)²]. Подставим это обратно в наше неравенство:

2(a+b+c) - 2(a²+b²+c²) ≥ 2 * 3√[(a+b+c)(a²+b²+c²)²] > 3/4

Теперь у нас есть:

2 * 3√[(a+b+c)(a²+b²+c²)²] > 3/4

Умножим обе стороны на 4/3:

8/3 * 3√[(a+b+c)(a²+b²+c²)²] > 1

Имея это неравенство, мы видим, что левая сторона всегда больше 1, но мы предположили, что она меньше 1/4. Таким образом, наше предположение неверно.

Таким образом, мы доказали, что из трех чисел a+c-4b², a+b-4c², b+c-4a² обязательно найдется такое, которое будет не больше 1/4.