Question

Найдите сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, если сумма первого и шестого членов прогрессии равна 26, а сумма второго и третьего члена прогрессии равна 18. [4]​

Answer 1

Ответ:

Сумма первых девяти членов арифметической прогрессии равна 171

Объяснение:

Информация: 1) Арифметическая прогрессия может быть задана следующей формулой: $\tt a_n=a_1+d \cdot (n-1).$

2) Сумма первых n членов арифметической прогрессии можно определить следующей формулой:

$\tt S_n=\dfrac{2 \cdot a_1+d \cdot (n-1)}{2} \cdot n.$

Решение. По условию

$\displaystyle \tt \left \{ {{a_1+a_6=26} \atop {a_2+a_3=18}} \right. .$

Отсюда находим первый член и разность арифметической прогрессии:

$\displaystyle \tt \left \{ {{a_1+a_1+5 \cdot d=26} \atop {a_1+d+a_1+2 \cdot d=18}} \right. \\\\\left \{ {{2 \cdot a_1+5 \cdot d=26} \atop {2 \cdot a_1+3 \cdot d=18}} \right. \\\\\left \{ {{2 \cdot a_1+5 \cdot d-2 \cdot a_1-3 \cdot d=26-18} \atop {2 \cdot a_1+3 \cdot d=18}} \right. \\\\\left \{ {{2 \cdot d=8} \atop {2 \cdot a_1=18-3 \cdot d}} \right. \\\\\left \{ {{d=4} \atop {2 \cdot a_1=18-3 \cdot 4}} \right. \\\\\left \{ {{d=4} \atop {2 \cdot a_1=6}} \right.$

$\displaystyle \tt \left \{ {{d=4} \atop {a_1=3}} \right..$

Теперь вычислим сумму первых 9 членов арифметической прогрессии

$\tt S_9=\dfrac{2 \cdot 3+4 \cdot (9-1)}{2} \cdot 9=\dfrac{6+32}{2} \cdot 9=19 \cdot 9 =171.$

#SPJ1

Answer 2

Для нахождения суммы первых девяти членов арифметической прогрессии, давайте представим сумму первых девяти членов как сумму всех членов минус сумму оставшихся членов. Обозначим эту сумму как S9.

Так как сумма первого и шестого членов прогрессии равна 26, мы можем записать следующие уравнения:

a1 + a6 = 26 (где a1 - первый член, a6 - шестой член)

Также сумма второго и третьего члена прогрессии равна 18:

a2 + a3 = 18 (где a2 - второй член, a3 - третий член)

Для арифметической прогрессии мы знаем, что общий член вычисляется по формуле:

an = a1 + (n-1)d (где an - n-й член, d - разность между членами)

Таким образом, мы можем записать:

a6 = a1 + 5d (так как шестой член находится на 5 позициях после первого)

a2 = a1 + d (так как второй член находится на 1 позицию после первого) a3 = a1 + 2d (так как третий член находится на 2 позиции после первого)

Теперь мы можем объединить оба уравнения:

a1 + a6 = 26 a1 + 5d + a2 + a3 = 26

Подставив выражения для a6, a2 и a3, получим:

a1 + (a1 + 5d) + (a1 + d) + (a1 + 2d) = 26

Теперь объединим подобные члены:

4a1 + 8d = 26

Далее, сумма первых девяти членов арифметической прогрессии равна:

S9 = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + 8d)

S9 = 9a1 + d(1 + 2 + 3 + ... + 8)

Мы знаем, что сумма первых n натуральных чисел равна n(n + 1)/2, поэтому:

S9 = 9a1 + d * (1 + 2 + 3 + ... + 8) = 9a1 + d * (8 * 9 / 2) = 36a1 + 36d

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 4a1 + 8d = 26
2. S9 = 36a1 + 36d

Мы можем решить эту систему уравнений. Сначала решим первое уравнение относительно a1:

4a1 + 8d = 26 4a1 = 26 - 8d a1 = (26 - 8d) / 4 a1 = (13 - 4d)/2

Теперь подставим это значение a1 во второе уравнение:

S9 = 36a1 + 36d S9 = 36((13 - 4d)/2) + 36d

Теперь у нас есть выражение для S9 в терминах d:

S9 = 18(13 - 4d) + 36d

Раскроем скобки:

S9 = 234 - 72d + 36d

S9 = 234 - 36d

Теперь мы можем вычислить S9, подставив значение d:

S9 = 234 - 36d

Мы пока не знаем значение d, поэтому нам нужно найти его. Для этого вернемся к первому уравнению:

4a1 + 8d = 26

Подставим значение a1:

4((13 - 4d)/2) + 8d = 26

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

2(13 - 4d) + 8d = 26

Раскроем скобки:

26 - 8d + 8d = 26

8d и -8d сокращаются, и у нас остается:

26 = 26

Уравнение верно. Это означает, что d не имеет значения, и любое значение d удовлетворяет условию. Таким образом, сумма первых девяти членов арифметической прогрессии S9 всегда равна 234.

Итак, сумма первых девяти членов арифметической прогрессии равна 234.