Question

24. Для кожного додатного значення а доведіть що : 1) a³ + 2a2 + a > 0​

Answer 1

$a^3+2a^2+a > 0\Leftrightarrow a\left ( a^2+2a+1 \right ) > 0\Leftrightarrow a(a+1)^2 > 0\Rightarrow a > 0$

Answer 2

Щоб довести, що вираз a³ + 2a² + a завжди більший за 0 для всіх додатних значень a, ми можемо використовувати математичне обґрунтування.

Спростимо вираз, розкривши його на множники:

a³ + 2a² + a = a(a² + 2a + 1)

Тепер ми можемо побачити, що вираз a³ + 2a² + a представляє собою добуток a і виразу (a² + 2a + 1).

Тепер розглянемо вираз (a² + 2a + 1). Ми можемо визначити його як квадратний тричлен:

a² + 2a + 1 = (a + 1)²

Це квадрат повного квадрату (a + 1)² завжди більший або рівний нулю для всіх значень a. Тобто, (a + 1)² ≥ 0 для всіх a.

Оскільки a³ + 2a² + a = a(a + 1)² і (a + 1)² завжди більший або рівний нулю, то a³ + 2a² + a завжди більший або рівний нулю для всіх додатних значень a.

Таким чином, доведено, що a³ + 2a² + a > 0 для всіх додатних a.