Question

Прямая y=3x + 1 параллельна касательной к графику функции y = 0,5x² - 2x+9. Найдите абсциссу точки касания

Answer 1

Ответ:

Для того чтобы найти абсциссу точки касания, нужно найти координаты этой точки. Поскольку прямая параллельна касательной, их угловые коэффициенты должны быть равны. У прямой угловой коэффициент равен 3, поэтому у касательной тоже должен быть угловой коэффициент 3.

Для нахождения абсциссы точки касания, нужно приравнять уравнения прямой и касательной:

0,5x² - 2x + 9 = 3x + 1

Перенесем все члены уравнения влево:

0,5x² - 5x + 8 = 0

Уравнение является квадратным, поэтому используем квадратное уравнение для его решения. Решим его с помощью дискриминанта:

D = (-5)² - 4 * 0,5 * 8 = 25 - 16 = 9

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:

x₁ = (-(-5) + √9) / (2 * 0,5) = (5 + 3) / 1 = 8

x₂ = (-(-5) - √9) / (2 * 0,5) = (5 - 3) / 1 = 2

Таким образом, абсцисса точки касания равна 8.

Answer 2

Для найти точку касания прямой y = 3x + 1 и касательной к графику функции y = 0,5x² - 2x + 9, мы должны найти значение x, при котором эти два уравнения совпадают.

1. Сначала найдем производную функции y = 0,5x² - 2x + 9. Производная функции y = f(x) равна f'(x).

f'(x) = d/dx (0,5x² - 2x + 9) = 1x - 2

2. Теперь мы знаем, что касательная к графику функции будет иметь уравнение вида y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀), где x₀ - абсцисса точки касания.

В нашем случае, у нас есть касательная y = 3x + 1, поэтому f'(x₀) должно быть равно 3.

3. Теперь уравнение касательной будет выглядеть как:

3(x - x₀) + f(x₀) = 3x + 1

4. Теперь подставим значение производной f'(x₀) и саму функцию f(x) в уравнение:

3(x - x₀) + (0,5x₀² - 2x₀ + 9) = 3x + 1

5. Распишем и упростим уравнение:

3x - 3x₀ + 0,5x₀² - 2x₀ + 9 = 3x + 1

6. Теперь сгруппируем по x:

(0,5x₀² - 3x₀ - 2x₀) + 9 = 1

7. Упростим уравнение:

0,5x₀² - 5x₀ + 9 = 1

8. Теперь выразим x₀:

0,5x₀² - 5x₀ + 9 - 1 = 0 0,5x₀² - 5x₀ + 8 = 0

9. Решим это квадратное уравнение для x₀, например, с помощью дискриминанта:

Дискриминант (D) = (-5)² - 4 * 0,5 * 8 = 25 - 16 = 9

Теперь используем квадратное уравнение:

x₀ = (-(-5) ± √9) / (2 * 0,5) x₀ = (5 ± 3) / 1

Таким образом, у нас два значения x₀:

x₀₁ = (5 + 3) / 1 = 8 x₀₂ = (5 - 3) / 1 = 2

Итак, у нас две точки касания: (2, f(2)) и (8, f(8)). Теперь найдем значения y для этих точек, подставив их в исходную функцию f(x):

1. Для (2, f(2)):

f(2) = 0,5 * 2² - 2 * 2 + 9 = 2 - 4 + 9 = 7

2. Для (8, f(8)):

f(8) = 0,5 * 8² - 2 * 8 + 9 = 32 - 16 + 9 = 25

Таким образом, точки касания прямой y = 3x + 1 с графиком функции y = 0,5x² - 2x + 9 имеют абсциссы 2 и 8, и соответствующие ординаты 7 и 25.