Question

1. Найдите сумму четырнадцати первых членов арифметической прогрессии: 1; 6; 11; … . 2. Найдите сумму пятидесяти первых членов последовательности (bn), заданной формулой bn = 3n - 2.3. Является ли число 36 членом арифметической прогрессии (аn), в которой a1 = -16 и a9 =16 ?

Answer 1

Объяснение:

1) Воспользуемся  формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии:

$a{_1}=1; a{_2} =6;\\ d= a{_2}-a{_1} ;\\d=6-1=5;\\S{_n} = \frac{2a{_1} +d*(n-1)}{2} *n;\\\\S{_{14}} =\frac{2*1+5*13}{2} *14= =\frac{2+65}{2} *14= 67*7=469.$

2)

$b{_n} = 3n-2 ;\\b{_1} = 3*1-2=3-2=1;\\b{_{50}} = 3*50-2= 150-2=148;\\\\S{_n} =\frac{(a{_1} +a{_n})*n }{2} ;\\\\S{_{50}} = \frac{(1+148)*50}{2} = 149*25 =3725.$

3)

$a{_1}= -16 ; a{_9}= 16\\a{n} = a{_1} +d*(n-1);\\a{_9}= a{_1} =8d;\\-16+8d=16;\\8d=16+16;\\8d=32;\\d=32:8;\\d=4.$

Тогда

$a{_1}+d*(n-1) =a{_n};\\-16+4*(n-1) =36;\\4*(n-1)= 36+16;\\4*(n-1) =52;\\n-1=52:4;\\n-1=13;\\n=13+1;\\n=14.$

Так как n=14 - натуральное число. то 36 является четырнадцатым членом арифметической прогрессии.

Answer 2

1. Дана арифметическая прогрессия с первым членом a1 = 1 и разностью d = 6 - 1 = 5.

Общий член арифметической прогрессии выражается формулой an = a1 + (n - 1)d.

Таким образом, четырнадцатый член будет:

a14 = a1 + (14 - 1)d = 1 + 13 * 5 = 1 + 65 = 66.

Сумма первых 14 членов арифметической прогрессии можно найти по формуле:

S14 = n/2 * (a1 + a14) = 14/2 * (1 + 66) = 7 * 67 = 469.

Ответ: Сумма четырнадцати первых членов арифметической прогрессии равна 469.

2. Задана последовательность bn = 3n - 2. Чтобы найти сумму первых 51 члена, можно воспользоваться формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Sn = n/2 * (a1 + an).

В данном случае, первый член последовательности a1 = b1 = 3*1 - 2 = 1.

Находим пятьдесят первый член последовательности:

b51 = 3*51 - 2 = 153 - 2 = 151.

Теперь можем найти сумму первых 51 члена:

S51 = 51/2 * (1 + 151) = 25.5 * 152 = 3864.

Ответ: Сумма первых пятидесяти первых членов последовательности равна 3864.

3. Для проверки, является ли число 36 членом арифметической прогрессии с a1 = -16 и a9 = 16, можно воспользоваться формулой общего члена арифметической прогрессии:

an = a1 + (n - 1)d.

Подставляем значения:

1. Если 36 является членом данной прогрессии, то существует натуральное n, при котором:

-16 + (n - 1)d = 36.

Или:

-16 + 8(n - 1) = 36.

Решая уравнение, получим:

8n - 8 = 52,

8n = 60,

n = 7.5.

Но n должно быть натуральным числом, что противоречит полученному значению. Следовательно, 36 не является членом данной арифметической прогрессии.

2. Так как в арифметической прогрессии a9 = 16, то:

-16 + 8d = 16.

Решая это уравнение, получаем:

8d = 32,

d = 4.

Теперь можем проверить, является ли 36 членом прогрессии при данном значении d:

-16 + 8(n - 1) = 36,

8(n - 1) = 52,

n - 1 = 6,

n = 7.

Таким образом, при n = 7, 36 является членом арифметической прогрессии с a1 = -16 и a9 = 16.