Question

найти интеграл (2х+4)в кубе dx найти производную 1/3х в кубе+3/2х в квадрате+8 найти интеграл от 0 до 1 хdх

Answer 1

если вы имеете в первом первообразную то (2x+4)^3=(2x+4)^4/4

 

f'(x)=4/3x^4+9/2x^3+8x+c

 

интеграл от 0 до 1 xdx = x^2/2   от 0 до 1=1/2-0=0.5

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из ваших запросов по очереди.

1. Интеграл $\int (2x + 4)^3 dx$:

Для вычисления данного интеграла можно воспользоваться методом замены переменной. Для этого введем новую переменную $u = 2x + 4$. Затем найдем производную $du/dx$:

$$\frac{du}{dx} = 2 \Rightarrow dx = \frac{du}{2}$$

Теперь мы можем переписать интеграл в терминах переменной $u$:

$$\int (2x + 4)^3 dx = \int u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du$$

Теперь интегрируем $u^3$:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{1}{8}u^4 + C$$

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив обратную замену $u = 2x + 4$:

$$\frac{1}{8}(2x + 4)^4 + C$$

Это и есть окончательный ответ на ваш интеграл.

2. Производная $\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 8$:

Чтобы найти производную данной функции, просто возьмем производные каждого члена по отдельности. Для функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 8$ получим:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2\right) + \frac{d}{dx}(8)$$

Вычисляем производные:

$$f'(x) = x^2 + 3x$$

3. Интеграл $\int_0^1 x dx$:

Для вычисления данного интеграла мы используем интегральное исчисление. Первоначально, найдем интеграл:

$$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$$

Теперь, чтобы найти значение интеграла на отрезке $[0, 1]$, подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$$\left[\frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right] = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$$

Итак, значение интеграла $\int_0^1 x dx$ равно $\frac{1}{2}$.