Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y= 3sinx cosx +1, с объяснением пожалуйста

Answer 1

Производная:  y'=3cos^2x-3sin^2x.
Производная равна 0: 3cos^2x-3sin^2x=0=>x=1/4*pi, x=3/4*pi-точки экстремума
3cos^2x-3sin^2x>0=>xє(-1/4*pi;1/4*pi)U(3/4*pi;5/4*pi),
3cos^2x-3sin^2x<0=>xє(1/4*pi;3/4*pi).
Точка x=1/4*pi - max, 3/4*pi - min.
Значение функции в точках максимума и минимума: f(1/4*pi)=5/2, f(3/4*pi)=-1/2.
Ответ:fmax=5/2, fmin=-1/2.

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции $y = 3\sin(x)\cos(x) + 1$, мы будем искать экстремумы функции и анализировать её поведение.

Сначала найдем производную функции $y$ по переменной $x$:

$y' = 3(\cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x)) = 3\cos(2x)$

Теперь найдем точки, где производная равна нулю, то есть:

$3\cos(2x) = 0$

Это происходит, когда $\cos(2x) = 0$. Решениями этого уравнения будут точки вида $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n$ - целое число.

Теперь найдем значения функции $y$ в этих точках. Подставив $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ в $y$, получаем:

$y = 3\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\right) + 1$

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\right)$ и $\cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\right)$ имеют значения $1$ или $-1$ в зависимости от четности $n$, мы можем упростить $y$:

$y = \begin{cases} 3 + 1 = 4, & \text{если } n \text{ четное} \\ 3 - 1 = 2, & \text{если } n \text{ нечетное} \end{cases}$

Таким образом, наибольшее значение функции $y$ равно $4$ (достигается при $n$ четном), а наименьшее значение функции $y$ равно $2$ (достигается при $n$ нечетном).