Question

Розв*яжіть нерівність x^2 - 49 > 0 А) (-∞;7) Б) (-∞; -7] U [7; +∞] В) (-∞; -7) U (7; +∞) Г) (-7; 7)

Answer 1

Ответ:

В) (–∞; –7) U (7; +∞)

Объяснение:

x² – 49 > 0 ⇔ x² – 7² > 0 ⇔ (x – 7)·(x+7) >0

Знак выражения (x–7)·(x+7) указаны в приложенном рисунке. Тогда ответ: x ∈ (–∞; –7) U (7; +∞).

Answer 2

Щоб розв'язати дану квадратну нерівність $x^2 - 49 > 0$, спершу знайдемо корені рівняння $x^2 - 49 = 0$, а потім визначимо, які інтервали задовольняють нерівність.

Розкладемо ліву сторону рівняння:

$x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7) = 0$.

Тепер знайдемо корені рівняння:

$x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$,

$x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$.

Ми знаємо, що корені рівняння розділяють вісь чисел на три інтервали:

1. $(-∞, -7)$
2. $(-7, 7)$
3. $(7, +∞)$

Тепер давайте визначимо, які з цих інтервалів задовольняють нерівність $x^2 - 49 > 0$.

У нас є множник $x - 7$ і множник $x + 7$. Значення $x$ в інтервалі $(-∞, -7)$ знаходяться лівше -7, тобто вони менше -7. Таким чином, обираємо множник $x + 7$ і визначаємо, які значення $x$ задовольняють нерівність $x + 7 > 0$. Всі значення $x$, для яких $x + 7 > 0$, лежать праворуч від -7. Тобто:

$(-∞, -7)$ задовольняє $x + 7 > 0$.

Тепер розглянемо інтервал $(-7, 7)$. У цьому інтервалі обираємо обидва множники, оскільки обидва є додатними в цьому діапазоні. Тобто:

$(-7, 7)$ задовольняє і $x - 7 > 0$ і $x + 7 > 0$.

На останньому інтервалі $(7, +∞)$ ми обираємо множник $x - 7$, тому що він додатний на цьому інтервалі. Тобто:

$(7, +∞)$ задовольняє $x - 7 > 0$.

Отже, ми знаємо, які інтервали задовольняють нерівність $x^2 - 49 > 0$:

1. $(-∞, -7)$
2. $(7, +∞)$

Тепер об'єднаємо ці інтервали:

$(-∞, -7) \cup (7, +∞)$

Відповідь: В) $(-∞, -7) \cup (7, +∞)$

Answer 3

Для розв'язання даної нерівності, спробуйте розглянути факторизацію і визначити знак виразу x^2 - 49 на кожному з інтервалів.

1. Розглянемо факторизацію x^2 - 49: x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)

2. Тепер давайте визначимо знак цього виразу на кожному з інтервалів:

   a) Перший інтервал (-∞; -7): Якщо x < -7, то обидва доданки (x - 7) та (x + 7) від'ємні, отже, добуток є додатнім. Тобто (x - 7)(x + 7) > 0 на цьому інтервалі.

   b) Другий інтервал (-7; 7): Якщо -7 < x < 7, то перший доданок (x - 7) від'ємний, а другий доданок (x + 7) позитивний, отже, добуток є від'ємним. Тобто (x - 7)(x + 7) < 0 на цьому інтервалі.

   c) Третій інтервал (7; +∞): Якщо x > 7, то обидва доданки (x - 7) та (x + 7) позитивні, отже, добуток є додатнім. Тобто (x - 7)(x + 7) > 0 на цьому інтервалі.

Отже, ми маємо наступні результати:

a) (-∞; -7): (x - 7)(x + 7) > 0 b) (-7; 7): (x - 7)(x + 7) < 0 c) (7; +∞): (x - 7)(x + 7) > 0

Тепер об'єднаємо ці результати разом:

A) (-∞;7) Б) (-∞; -7] U [7; +∞] В) (-∞; -7) U (7; +∞) Г) (-7; 7)

Відповідь: Б) (-∞; -7] U [7; +∞]