Question

Найдите наименьшее значение функции y=e^2x-5e^x-2 на отрезке [-2;1]

Answer 1

-------------------------------

Answer 2

Решение на фото""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

Answer 3

Для нахождения наименьшего значения функции $y = e^{2x} - 5e^x - 2$ на отрезке $[-2; 1]$, нужно сначала найти производную этой функции и найти ее минимум. Давайте выполним этот шаг за шагом.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x} - 5e^x - 2).$

2. Вычислим производную:

$y'(x) = 2e^{2x} - 5e^x.$

3. Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю:

$2e^{2x} - 5e^x = 0.$

4. Решим это уравнение для $x$:

$2e^{2x} = 5e^x.$

Разделим обе стороны на $e^x$:

$2e^x = 5.$

5. Теперь найдем значение $x$:

$e^x = \frac{5}{2}.$

Для нахождения значения $x$ возьмем натуральный логарифм с обеих сторон:

$x = \ln\left(\frac{5}{2}\right).$

6. Теперь найдем значение $y$ в этой точке:

$y(x) = e^{2x} - 5e^x - 2.$

Подставим $x = \ln\left(\frac{5}{2}\right)$:

$y\left(\ln\left(\frac{5}{2}\right)\right) = e^{2\ln\left(\frac{5}{2}\right)} - 5e^{\ln\left(\frac{5}{2}\right)} - 2.$

Упростим выражение:

$y\left(\ln\left(\frac{5}{2}\right)\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{2}\right) - 2.$

Теперь вычислим это значение:

$y\left(\ln\left(\frac{5}{2}\right)\right) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 2.$

$y\left(\ln\left(\frac{5}{2}\right)\right) = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} - \frac{8}{4}.$

$y\left(\ln\left(\frac{5}{2}\right)\right) = -\frac{33}{4}.$

Итак, наименьшее значение функции $y$ на отрезке $[-2; 1]$ равно $-\frac{33}{4}$.