Question

Найти точки максимума и минимума f(x)=-x3+6x2 + 15x+1

Answer 1

F (x) = - x^3 + 6x^2 + 15x  + 1
f  '(x) = - 3x^2 + 12x + 15

f ' (x) = 0 
- 3x^2 + 12x + 15 = 0 
3x^2 - 12x - 15 = 0 
D = 144+ 12*15 = 324 = 18^2
x1 = (12 + 18)/6 = 5
x2 = (12 - 18)/6  = - 1

   -         min        +     max    - 
--------- ( - 1) --------- ( 5) --------> x 

точка минимума x = - 1 
точка максимума x = 5 

Answer 2

Для нахождения точек максимума и минимума функции $f(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x + 1$, начнем с вычисления ее производной, которая называется производной функции $f(x)$. Затем найдем значения $x$, при которых производная равна нулю, и используем тест второй производной, чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами. В конечном итоге, мы также найдем значения функции $f(x)$ в этих точках, чтобы определить соответствующие значения $y$.

1. Найдем производную $f'(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 6x^2 + 15x + 1)$ $f'(x) = -3x^2 + 12x + 15$

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю, решая уравнение $f'(x) = 0$: $-3x^2 + 12x + 15 = 0$

Давайте решим это уравнение:

$-3x^2 + 12x + 15 = 0$ $x^2 - 4x - 5 = 0$

Факторизуем его или используем квадратное уравнение, чтобы найти корни:

$(x - 5)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

3. Теперь используем тест второй производной, чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами. Для этого найдем производную второго порядка $f''(x)$:

$f''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 12x + 15)$ $f''(x) = -6x + 12$

Теперь подставим найденные значения $x_1$ и $x_2$ во вторую производную:

Для $x_1 = 5$: $f''(5) = -6(5) + 12 = -18$

Для $x_2 = -1$: $f''(-1) = -6(-1) + 12 = 18$

Теперь мы можем сделать выводы:

• В точке $x_1 = 5$ производная второго порядка $f''(5) = -18$ отрицательна, следовательно, это точка максимума.
• В точке $x_2 = -1$ производная второго порядка $f''(-1) = 18$ положительна, следовательно, это точка минимума.

4. Найдем соответствующие значения функции $f(x)$ в этих точках:

Для $x_1 = 5$: $f(5) = -(5)^3 + 6(5)^2 + 15(5) + 1$ $f(5) = -125 + 150 + 75 + 1$ $f(5) = 101$

Для $x_2 = -1$: $f(-1) = -(-1)^3 + 6(-1)^2 + 15(-1) + 1$ $f(-1) = -(-1) + 6 + (-15) + 1$ $f(-1) = 7$

Итак, точка максимума находится в $x = 5$ с $f(5) = 101$, а точка минимума находится в $x = -1$