Question

СРОЧНО! 1)sin^2x-sinx=0 2)5sinx+cosx=5 3) 10cos^2x+3cosx=1

Answer 1

1)sin²x-sinx=0
sinx(sinx-1)=0
получаем совокупность уравнений:
sinx=0    x₁=πk, k∈Z
sinx=1  x₂= $\frac{ \pi }{2} +2 \pi k$, k∈Z
Ответ: x₁=πk, x₂= $\frac{ \pi }{2} +2 \pi k$, k∈Z

3) 10cos²x+3cosx=1

10cos²x+3cosx-1=0
cosx=$\frac{-3+- \sqrt{ 3^{2}+4*10*1} }{20}= \frac{-3+- \sqrt{49} }{10}= \frac{-3+-7}{10}$

cosx₁=-1 x₁=π+2πk, k∈Z
cosx₂=0.4  x₂=+-arccos0.4+2πk, k∈Z

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди:

1. $\sin^2x - \sin x = 0$

Это уравнение можно решить, преобразовав его следующим образом:

$\sin x (\sin x - 1) = 0$

Теперь у нас есть два возможных случая:

a) $\sin x = 0$

Это уравнение имеет решение $x = 0$ и $x = \pi$, так как $\sin 0 = 0$ и $\sin \pi = 0$.

b) $\sin x - 1 = 0$

Это уравнение имеет решение $\sin x = 1$, что означает $x = \frac{\pi}{2}$.

Итак, уравнение $\sin^2x - \sin x = 0$ имеет следующие решения: $x = 0, x = \frac{\pi}{2}, x = \pi$.

2. $5\sin x + \cos x = 5$

Давайте сначала преобразуем уравнение:

$\cos x = 5 - 5\sin x$

Теперь возможно несколько способов решения. Один из них - возвести обе стороны уравнения в квадрат:

$\cos^2 x = (5 - 5\sin x)^2$

Используя тригонометрическую идентичность $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, мы получаем:

$1 - \sin^2 x = (5 - 5\sin x)^2$

Раскроем скобки:

$1 - \sin^2 x = 25 - 50\sin x + 25\sin^2 x$

Теперь переносим все члены в одну сторону:

$25\sin^2 x - 50\sin x + 24 = 0$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $\sin x$. Решим его с помощью дискриминанта:

Дискриминант $D = (-50)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 24 = 2500 - 2400 = 100$

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

$\sin x = \frac{-(-50) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 25} = \frac{50 \pm 10}{50}$

Теперь найдем значения $\sin x$:

a) $\sin x = \frac{60}{50} = \frac{6}{5}$ - это значение находится за пределами диапазона значений синуса (-1, 1), поэтому это решение не подходит.

b) $\sin x = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$ - это допустимое значение.

Теперь найдем соответствующие значения $\cos x$ с использованием исходного уравнения:

$\cos x = 5 - 5\sin x = 5 - 5 \cdot \frac{4}{5} = 5 - 4 = 1$

Итак, уравнение $5\sin x + \cos x = 5$ имеет решение x = \arcsin\left(\frac{4}{5}.

3. $10\cos^2 x + 3\cos x = 1$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Давайте перепишем его в стандартной форме:

$10\cos^2 x + 3\cos x - 1 = 0$

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант $D = (3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49$

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

$\cos x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{-3 \pm 7}{20}$