Question

Найти D(x),если f(x)=arcsin(x²-3)

Answer 1

Под знаком арксинуса может находиться только число, которое по модулю не превышает 1
$f(x)=\arcsin(x^2-3) \\\ |x^2-3| \leq 1 \\ -1 \leq x^2-3 \leq 1 \\\ 2 \leq x^2 \leq 4 \\\ \sqrt{2} \leq |x| \leq \sqrt{4} \\\ \sqrt{2} \leq |x| \leq 2 \\\ x\in[-2;- \sqrt{2} ]\cup[ \sqrt{2} ;2]$
Ответ: $[-2;- \sqrt{2} ]\cup[ \sqrt{2} ;2]$

Answer 2

Чтобы найти производную функции $f(x) = \arcsin(x^2 - 3)$, мы будем использовать цепное правило дифференцирования, так как у нас есть составная функция $\arcsin(u)$, где $u = x^2 - 3$.

Обозначим:

$u = x^2 - 3$

Теперь найдем производные:

$\frac{du}{dx} = 2x$ (производная $x^2$ равна $2x$)

Теперь найдем производную $\arcsin(u)$ по переменной $u$:

$\frac{d}{du}(\arcsin(u)) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

Теперь мы можем применить цепное правило:

$D(x) = \frac{d}{dx}(\arcsin(u)) = \frac{d}{du}(\arcsin(u)) \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot 2x$

Теперь подставим $u = x^2 - 3$:

$D(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (x^2 - 3)^2}} \cdot 2x$

Это будет производная функции $f(x) = \arcsin(x^2 - 3)$.