Question

При каких значениях n парабола y= -x2 + (n-1)x+n целиком расположено ниже прямой y=1

Answer 1

-x²+(n-1)x+n<1
-x²+(n-1)x+(n-1)<0
D=(n-1)²-4·(-1)·(n-1)=(n-1)·(n-1+4)=(n-1)·(n+3)
Чтобы график функции у=-х²+(n-1)x+(n-1) располагался ниже оси оси Ох, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлены был отрицательным.
(n-1)·(n+3)<0
-3<n<1
О т в е т. (-3;1)

Answer 2

Чтобы найти значения n, при которых парабола y = -x^2 + (n-1)x + n расположена целиком ниже прямой y = 1, нужно найти, при каких значениях x вся парабола будет ниже y = 1. Это происходит, когда все значения y для данной параболы будут меньше 1.

Итак, мы имеем:

y = -x^2 + (n-1)x + n

Чтобы найти точки, где парабола пересекает горизонтальную линию y = 1, мы можем приравнять выражение выше к 1 и решить уравнение:

• x^2 + (n-1)x + n = 1

Теперь выразим это уравнение в стандартной форме квадратного уравнения:

x^2 + (n-1)x + (n - 1) = 0

Чтобы парабола была полностью ниже y = 1, это квадратное уравнение не должно иметь решений, или, другими словами, его дискриминант (D) должен быть меньше нуля:

D = (n-1)^2 - 4(n - 1) < 0

Решим это неравенство:

(n-1)^2 - 4(n - 1) < 0

Раскроем скобки:

n^2 - 2n + 1 - 4n + 4 < 0

n^2 - 6n + 5 < 0

Теперь найдем корни этого уравнения:

(n - 5)(n - 1) < 0

Теперь мы видим, что неравенство будет выполнено, если:

1 < n < 5

Таким образом, парабола y = -x^2 + (n-1)x + n будет полностью расположена ниже прямой y = 1 при значениях n в интервале (1, 5).