Question

Составьте уравнение плоскости, проходящий через точки M1,M2,M3 если 1)M1(-2:3:5), М2(4:-3:0),М3(0:6:-5)

Answer 1

Для нахождения уравнения плоскости используем формулу:
      $\left|\begin{array}{ccc}x-x_A& y-y_A& z-z_A\\ x_B-x_A& y_B-y_A& z_B-z_A\\ x_C-x_A& y_C-y_A& z_C-z_A\end{array}\right|$

В нашем случае

$\left|\begin{array}{ccc}x+2& y-3& z-5\\ 4+2&-3-3&0-5\\ 0+2&6-3&-5-5\end{array}\right|= \left|\begin{array}{ccc}x+2& y-3& z-5\\ 6&-6&-5\\2&3&-10\end{array}\right|=\\ \\ \\ =(x+2)\cdot \left|\begin{array}{ccc}-6&-5\\3&-10\end{array}\right|-(y-3)\cdot \left|\begin{array}{ccc}6&-5\\2&-10\end{array}\right|+(z-5)\cdot \left|\begin{array}{ccc}6&-6\\2&3\end{array}\right|=\\ \\ \\ (x+2)(60+15)-(y-3)(-60+10)+(z-5)(18+12)=0\\ \\ 75x+50y+30z-150=0|:5\\ \\ \boxed{15x+10y+6z-30=0}$

Answer 2

Уравнение плоскости можно составить, используя уравнение общего вида для плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости, (x, y, z) - координаты точки на плоскости, а D - константа.

Для нахождения нормального вектора плоскости, который перпендикулярен плоскости, проходящей через точки M1, M2 и M3, можно воспользоваться векторным произведением двух направляющих векторов на плоскости.

Направляющие векторы можно найти, вычитая координаты точек M1 и M2, и M1 и M3 соответственно.

Вектор M1M2 = M2 - M1 = (4 - (-2), -3 - 3, 0 - 5) = (6, -6, -5) Вектор M1M3 = M3 - M1 = (0 - (-2), 6 - 3, -5 - 5) = (2, 3, -10)

Теперь найдем векторное произведение этих векторов:

Нормальный вектор N = M1M2 × M1M3 = (i, j, k) где i = (-6) * (-10) - (-6) * 3 = -57 j = (-5) * 2 - 6 * (-10) = 49 k = 6 * 3 - (-6) * 2 = 24

Таким образом, нормальный вектор N плоскости: N = (-57, 49, 24)

Теперь, чтобы получить уравнение плоскости, подставим нормальный вектор и координаты одной из точек (например, M1) в уравнение плоскости:

-57x + 49y + 24z + D = 0

Чтобы найти константу D, подставим координаты точки M1(-2, 3, 5):

-57 * (-2) + 49 * 3 + 24 * 5 + D = 0 114 + 147 + 120 + D = 0 D = -381

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точки M1, M2 и M3, будет:

-57x + 49y + 24z - 381 = 0