Question

Докажите неравенство а) 25c^2+1больше или равно 10c

Answer 1

25c^2+1≥10c
25c^2-10c+1≥0
(5c-1)^2≥0
Вроде так, но могу ошибаться

Answer 2

Для доказательства данного неравенства $25c^2 + 1 \geq 10c$ предлагаю воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая. При $c = 0$ неравенство превращается в $1 \geq 0$, что является истиной.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что неравенство верно для некоторого $k$, то есть $25k^2 + 1 \geq 10k$.

Шаг 3: Доказательство для $k+1$. Рассмотрим выражение $25(k+1)^2 + 1$: \begin{align*} 25(k+1)^2 + 1 &= 25k^2 + 50k + 25 + 1 \ &= 25k^2 + 1 + 50k + 25 \ &\geq 10k + 50k + 25 \quad \text{(по предположению индукции)} \ &= 60k + 25 \ &\geq 10(k + 1) + 25 \ &= 10k + 10 + 25 \ &= 10(k + 1) + 35 \ &\geq 10(k + 1). \end{align*}

Таким образом, мы показали, что если неравенство выполняется для $k$, то оно также выполняется и для $k+1$, что завершает индуктивный шаг.

Следовательно, неравенство $25c^2 + 1 \geq 10c$ выполняется для всех неотрицательных чисел $c$ по принципу математической индукции.