Question

Очень сильно прошу помощи 9 класс Алгебра ЧОТИРИ ЧИСЛА СКЛАДАЮТЬ ГЕОМЕТРИЧНУ ПРОГРЕСІЮ. зНАЙТИ ЦІ ЧИСЛА, ЯКЩО ПРИ ЗБІЛЬШЕННІ ЇХ НА 10,11, 9 І 1 відповідно вони складають арифметичну прогресію

Answer 1

A₁ ; a₂; a₃; a₄ -геометрическая прогрессия, т.е.
a₂ = q * a₁
a₃ = q² * a₁
a₄ = q³ * a₁
a₁+10; a₂+11; a₃+9; a₄+1 -арифметическая прогрессия, т.е.
a₂+11 = a₁+10+d
a₃+9 = a₁+10+2d
a₄+1 = a₁+10+3d
-----------------------
a₂ = a₁+d-1 = q * a₁
a₃ = a₁+2d+1 = q² * a₁
a₄ = a₁+3d+9 = q³ * a₁
-------------------------------система
d = (q-1) * a₁ + 1
2d+1 = (q²-1) * a₁
3d+9 = (q³-1) * a₁
-------------------------------
d = (q-1) * a₁ + 1
2(q-1) * a₁ + 3 = (q²-1) * a₁
3(q-1) * a₁ + 12 = (q³-1) * a₁
--------------------------------------
d = (q-1) * a₁ + 1
(q-1) * a₁ * (1 - q) + 3 = 0     (q-1) * a₁ = 3 / (q-1)
(q-1) * a₁ * (2-q²-q) + 12 = 0
------------- 3(2-q²-q) / (q-1) = -12 
6 - 3q² - 3q - 12 + 12q = 0
q² - 3q + 2 = 0
q ≠ 1;   q = 2
a₁ = 3 / (q-1)² = 3
d = a₁ + 1 = 3+1 = 4
----------------------------
a₁ = 3                  геометрическая
a₂ = 2a₁ = 6        прогрессия
a₃ = 4 * 3 = 12    с q = 2
a₄ = 8 * 3 = 24
--------------------
3+10 = 13    арифметическая 
6+11 = 17    прогрессия
12+9 = 21    с d = 4
24+1 = 25

Answer 2

Давайте обозначим четыре числа в геометричной прогрессии как $a$, $ar$, $ar^2$ и $ar^3$, где $a$ - первый член прогрессии, а $r$ - её знаменатель (отношение между соседними членами).

Когда мы увеличиваем каждое из этих чисел на 10, 11, 9 и 1 соответственно, мы получаем следующие члены арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это когда разность между любыми двумя последовательными членами одинакова. Поэтому мы можем записать:

$$\begin{align*} a + 10 &= a + d \\ ar + 11 &= a + d + d = a + 2d \\ ar^2 + 9 &= a + 2d + d = a + 3d \\ ar^3 + 1 &= a + 3d + d = a + 4d \end{align*}$$

Теперь мы можем решить эту систему уравнений для $a$ и $d$:

$$\begin{align*} a + 10 &= a + d \\ ar + 11 &= a + 2d \\ ar^2 + 9 &= a + 3d \\ ar^3 + 1 &= a + 4d \end{align*}$$

Вычитаем первое уравнение из второго, второе из третьего и третье из четвёртого:

$$\begin{align*} d &= 10 \\ ar &= 1 \\ ar^2 &= -2 \\ ar^3 &= -6 \end{align*}$$

Из второго и третьего уравнения видно, что $r = \frac{1}{ar} = -2$, а значит $a = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, четыре числа геометрической прогрессии будут:

$$-\frac{1}{2}, -1, 2, -3$$