Question

Cos^6x-sin^6x=1/4cos2x Помогите, пожалуйста

Answer 1

(1+cos2x)³/8-(1-cos2x)³/8=cos2x/4
1+3cos2x+3cos²2x+cos³2x-1+3cos2x-3cos²2x+cos³2x-2cos2x=0
2cos³2x+4cos2x=0
2cos2x*(cos²2x+2)=0
cos2x=0⇒2x=π/2+πk⇒x=π/4+πk/2,k∈z
cos²2x+2>0 при любом х
Ответ x=π/4+πk/2,k∈z

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить данное уравнение. Давайте разберемся с ним:

Дано уравнение: cos^6(x) - sin^6(x) = 1/4 * cos(2x)

Мы можем использовать тригонометрические идентичности, чтобы упростить левую сторону уравнения.

1. Начнем с формулы разности кубов: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

   Применим это к cos^6(x) - sin^6(x):

   cos^6(x) - sin^6(x) = (cos^2(x) - sin^2(x))(cos^4(x) + cos^2(x)sin^2(x) + sin^4(x))

2. Мы знаем, что cos^2(x) + sin^2(x) = 1 (тождество Пифагора).

   Подставим это в уравнение:

   cos^6(x) - sin^6(x) = (1 - 2sin^2(x))(cos^4(x) + sin^4(x) + sin^2(x))

3. Также, нам известно, что cos^4(x) + sin^4(x) = (cos^2(x) + sin^2(x))^2 - 2cos^2(x)sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x)cos^2(x).

   Подставим это обратно в уравнение:

   cos^6(x) - sin^6(x) = (1 - 2sin^2(x))(1 - 2sin^2(x)cos^2(x) + sin^2(x))

4. Давайте заменим sin^2(x)cos^2(x) на 1/4 * sin^2(2x) (тригонометрическая идентичность).

   cos^6(x) - sin^6(x) = (1 - 2sin^2(x))(1 - 1/2 * sin^2(2x) + sin^2(x))

   cos^6(x) - sin^6(x) = (1 - 2sin^2(x))(1 + 1/2 * (cos(2x) - 1) + sin^2(x))

   cos^6(x) - sin^6(x) = (1 - 2sin^2(x))(1/2 * cos(2x) + 1/2 * sin^2(x))

5. Мы также можем использовать тригонометрическую идентичность: sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

   Подставим это в уравнение:

   cos^6(x) - sin^6(x) = (1 - 2sin^2(x))(1/2 * cos(2x) + 1/2 * (1 - cos^2(x)))

   cos^6(x) - sin^6(x) = (1 - 2sin^2(x))(1/2 * cos(2x) + 1/2 - 1/2 * cos^2(x))

6. Упростим это уравнение дальше:

   cos^6(x) - sin^6(x) = (1/2 * cos(2x) + 1/2 - 1/2 * cos^2(x)) - (sin^2(x) * (cos(2x) + 1))

   cos^6(x) - sin^6(x) = 1/2 * cos(2x) + 1/2 - 1/2 * cos^2(x) - sin^2(x) * cos(2x) - sin^2(x)

7. Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (тождество Пифагора).

   Подставим это в уравнение:

   cos^6(x) - sin^6(x) = 1/2 * cos(2x) + 1/2 - 1/2 * cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) * cos(2x) - (1 - cos^2(x))

   cos^6(x) - sin^6(x) = 1/2 * cos(2x) + 1/2 - 1/2 * cos^2(x) - cos(2x) + cos^2(x) - 1 + cos^2(x)

8. Теперь объединим подобные слагаемые:

   cos^6(x) - sin^6(x) = -1/2 * cos(2x) + 3/2 * cos^2(x)

9. Теперь сравним это с правой стороной уравнения (1/4 * cos(2x)):

   -1/2 * cos(2x) + 3/2 * cos^2(x) = 1/4 * cos(2x)

10. Теперь умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

-2 * cos(2x) + 6 * cos^2(x) = cos(2x)

11. Переносим все слагаемые на одну сторону:

6 * cos^2(x) + cos(2x) - 2 * cos(2x) = 0

6 * cos^2(x) - cos(2x) = 0

12. Разложим cos(2x) на его составляющие:

6 * cos^2(x) - (2 * cos^2(x) - 1) = 0

6 * cos^2(x) - 2 * cos^2(x) + 1 = 0

4 * cos^2(x) + 1 = 0

13. Решение квадратного уравнения 4 * cos^2(x) + 1 = 0:

cos^2(x) = -1/4

Но квадрат косинуса не может быть отрицательным, следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в действительных числах.