Question

Решите уравнение: sin^2х =3cos^2x

Answer 1

Разделим обе части уравнения на cos^2x
тогда получим:
tg^2(x)=3
tgx=+√3
tgx=-√3
отсюда
x1= arctgx(√3)
x2=arctgx(-√3)
x1=π/3+πk, где k€Z
x2=-π/3+πk, где k€Z
В ответ пишешь x1 и x2 только без индексов 1 и 2.

Answer 2

Данное уравнение нам предлагает связь между тригонометрическими функциями синуса и косинуса. Давайте попробуем его решить:

$$\sin^2(x) = 3\cos^2(x).$$

Сначала воспользуемся тригонометрическими тождествами для связи синуса и косинуса:

$$\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x).$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$1 - \cos^2(x) = 3\cos^2(x).$$

Теперь соберем всё в одну сторону уравнения:

$$4\cos^2(x) = 1.$$

Делим обе стороны на 4:

$$\cos^2(x) = \frac{1}{4}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

$$\cos(x) = \pm \frac{1}{2}.$$

Значения углов, удовлетворяющие этим равенствам, можно найти на основе известных значений углов с косинусом 1/2 и -1/2. Эти углы в первом квадранте (0-90 градусов) и во втором квадранте (90-180 градусов) соответственно. Их общие решения будут:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,$$

где n - целое число, позволяющее учесть все возможные углы, удовлетворяющие уравнению.

Итак, решения уравнения $\sin^2(x) = 3\cos^2(x)$ это $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где n - целое число.