Question

Найти уменшение функции y=1/3x^3+1/2x^2

Answer 1

1) Вычислим производную данной функции:

у = -x3 + 3x + 7.

у' = -3х² + 3.

2) Приравняем производную к нулю.

у' = 0; -3х² + 3 = 0; -3х² = -3; х² = 1; х = -1 и х = 1.

3) Определим знаки производной на каждом промежутке:

(-∞; -1) пусть х = -2, у' = -3 * (-2)² + 3 = -12 + 3 = -9. Производная отрицательна, функция убывает.

(-1; 1) пусть х = 0, у' = -3 * 0 + 3 = 3. Производная положительна, функция возрастает.

(1; +∞) пусть х = 2, у' = -3 * 2² + 3 = -12 + 3 = -9. Производная отрицательна, функция убывает.

4) Находим точки экстремума. Получается хmin = -1 (точка минимума) и хmax = 1 (точка максимума). Обе точки входят в промежуток [-3; 3].

5) Вычислим минимальное значение функции в точке хmin = -1.

у = -x3 + 3x + 7 = -(-1)3 + 3 * (-1) + 7 = 1 - 3 + 7 = 5.

Ответ: минимальное значение функции на промежутке [-3; 3] равно 5

Answer 2

Для найти уменьшение функции y = (1/3)x^3 + (1/2)x^2, нам нужно найти её производную и найти значения x, при которых производная равна нулю. Уменьшение функции происходит в тех точках, где производная равна нулю.

1. Найдем производную функции y по x: y' = d/dx[(1/3)x^3 + (1/2)x^2]

Используем правила дифференцирования: y' = (1/3) * d/dx[x^3] + (1/2) * d/dx[x^2] y' = (1/3) * 3x^2 + (1/2) * 2x y' = x^2 + x

2. Найдем значения x, при которых производная равна нулю: x^2 + x = 0

Для решения этого уравнения, приведем его к виду: x^2 + x = 0 x(x + 1) = 0

Таким образом, у нас два возможных значения x: x = 0 и x = -1.

Теперь, чтобы найти уменьшение функции, подставим найденные значения x обратно в исходную функцию y = (1/3)x^3 + (1/2)x^2:

1. При x = 0: y = (1/3)(0)^3 + (1/2)(0)^2 y = 0 + 0 y = 0

2. При x = -1: y = (1/3)(-1)^3 + (1/2)(-1)^2 y = (1/3)*(-1) + (1/2)*1 y = (-1/3) + (1/2) y = (2 - 3)/6 y = -1/6

Таким образом, уменьшение функции происходит в двух точках: (0, 0) и (-1, -1/6).