Question

Доказать тождество 4sin^2a-4sin^4a=sin^2 2a

Answer 1

$4sin^2(a)-4sin^4(a)=sin^2(2a)\\4sin^2(a)(1-sin^2(a)=(2sin(a)cos(a))^2\\4sin^2(a)cos^2(a)=4sin^2(a)cos^2(a)$

Answer 2

Давайте докажем данное тождество, используя тригонометрические тождества. Начнем с левой стороны равенства:

Левая сторона: 4sin^2(a) - 4sin^4(a)

Мы можем вынести общий множитель 4:

4(sin^2(a) - sin^4(a))

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством для двойного угла: sin(2a) = 2sin(a)cos(a).

Преобразуем левую сторону, используя это тождество:

4(sin^2(a) - sin^4(a)) = 4(sin^2(a) - (sin^2(a))^2)

Теперь применим тригонометрическое тождество: sin^2(a) + cos^2(a) = 1, чтобы заменить cos^2(a):

4(sin^2(a) - (sin^2(a))^2) = 4(sin^2(a) - (1 - sin^2(a))^2)

Теперь раскроем квадрат:

4(sin^2(a) - (1 - sin^2(a))^2) = 4(sin^2(a) - (1 - 2sin^2(a) + sin^4(a)))

Теперь сгруппируем члены:

4(sin^2(a) - (1 - 2sin^2(a) + sin^4(a))) = 4(2sin^2(a) - sin^4(a) - 1)

Теперь преобразуем правую сторону, используя опять тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

4(2sin^2(a) - sin^4(a) - 1) = 4(2sin^2(a) - sin^4(a) - (sin^2(a) + cos^2(a)))

Теперь снова раскроем скобки:

4(2sin^2(a) - sin^4(a) - (sin^2(a) + cos^2(a))) = 4(2sin^2(a) - sin^4(a) - sin^2(a) - cos^2(a))

Теперь заменим sin^2(a) + cos^2(a) на 1:

4(2sin^2(a) - sin^4(a) - sin^2(a) - cos^2(a)) = 4(2sin^2(a) - sin^4(a) - sin^2(a) - 1)

Теперь сгруппируем члены с sin^2(a):

4(2sin^2(a) - sin^4(a) - sin^2(a) - 1) = 4(sin^2(a) - sin^4(a) - 1)

Мы получили выражение, которое очевидно равно левой стороне:

4(sin^2(a) - sin^4(a) - 1) = 4sin^2(a) - 4sin^4(a)

Таким образом, мы доказали, что левая сторона равна правой стороне:

4sin^2(a) - 4sin^4(a) = sin^2(2a)

Тождество доказано.