Question

Разложить на множители cos5a*cos3a*sin3a+cos5a*sin2a+sin5a*sin^2 3a-sin5a*cos2a (*умножение) помогите

Answer 1

Все показано на фото

Answer 2

Давайте разложим выражение на множители:

1. Разложение первого слагаемого: cos5a * cos3a * sin3a. Используем тригонометрическую формулу произведения синуса и косинуса: sin(a) * cos(b) = (1/2) * [sin(a+b) + sin(a-b)]

   Тогда: cos5a * cos3a * sin3a = (1/2) * [sin(5a + 3a) + sin(5a - 3a)] * sin3a cos5a * cos3a * sin3a = (1/2) * [sin(8a) + sin(2a)] * sin3a cos5a * cos3a * sin3a = (1/2) * sin(8a) * sin3a + (1/2) * sin(2a) * sin3a cos5a * cos3a * sin3a = (1/2) * sin(8a) * sin3a + (1/2) * sin(2a) * sin(3a)

2. Разложение второго слагаемого: cos5a * sin2a. Используем тригонометрическую формулу произведения синуса и косинуса: sin(a) * cos(b) = (1/2) * [sin(a+b) + sin(a-b)]

   Тогда: cos5a * sin2a = (1/2) * [sin(5a + 2a) + sin(5a - 2a)] cos5a * sin2a = (1/2) * [sin(7a) + sin(3a)]

3. Разложение третьего слагаемого: sin5a * sin^2(3a). Используем тригонометрическую формулу синуса квадрата: sin^2(a) = (1/2) * (1 - cos(2a))

   Тогда: sin^2(3a) = (1/2) * (1 - cos(6a))

   Подставляем это обратно в выражение: sin5a * sin^2(3a) = sin5a * (1/2) * (1 - cos(6a))

4. Разложение четвертого слагаемого: sin5a * cos2a. Используем тригонометрическую формулу произведения синуса и косинуса: sin(a) * cos(b) = (1/2) * [sin(a+b) + sin(a-b)]

   Тогда: sin5a * cos2a = (1/2) * [sin(5a + 2a) + sin(5a - 2a)] sin5a * cos2a = (1/2) * [sin(7a) + sin(3a)]

Теперь объединим все разложенные слагаемые:

cos5a * cos3a * sin3a + cos5a * sin2a + sin5a * sin^2(3a) - sin5a * cos2a = (1/2) * sin(8a) * sin3a + (1/2) * sin(2a) * sin(3a) + (1/2) * [sin(7a) + sin(3a)] - sin5a * (1/2) * (1 - cos(6a))

Упростим:

= (1/2) * [sin(8a) * sin(3a) + sin(2a) * sin(3a) + sin(7a) + sin(3a) - sin5a + sin5a * cos(6a)] = (1/2) * [sin(8a) * sin(3a) + sin(2a) * sin(3a) + sin(7a) + sin(3a)]

Теперь можно объединить синусы:

= (1/2) * [sin(8a) + sin(2a) + sin(7a) + sin(3a)] * sin(3a)

А также:

= (1/2) * [2 * sin(5a) * cos(3a) + sin(7a) + sin(3a)] * sin(3a) = [sin(5a) * cos(3a) + (1/2) * (sin(7a) + sin(3a))] * sin(3a)

Таким образом, выражение разложено на множители:

[sin(5a) * cos(3a) + (1/2) * (sin(7a) + sin(3a))] * sin(3a)