Question

Решите уравнение: а) sin²x+sinx-2=0; б) 3sin²x-cosx+1=0.

Answer 1

а) sin²x+sinx-2=0   sinx=z    z²+z-2=0   z1= -2     z2=1
-2 не подходит      sinx=1    x=π/2+2πn   n∈Z

б) 3sin²x-cosx+1=0.   3(1-cos²x)-cosx+1=0

-3cos²x-cosx+4=0   3cos²x+cosx-4=0  √ D=√1+48=7
x1=1/6[-1-7]<-1   не подходит
x2=1/6[-1+7]=1   cosx=1   x=0+2πn=2πn   n∈Z

Answer 2

Давайте решим уравнения:

а) sin²x + sinx - 2 = 0

Для упрощения обозначим sinx = t, тогда уравнение примет вид:

t² + t - 2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение относительно t:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = 1 и c = -2:

t = (-(1) ± √((1)² - 4(1)(-2))) / 2(1)

t = (-1 ± √(1 + 8)) / 2

t = (-1 ± √9) / 2

t = (-1 ± 3) / 2

Таким образом, получаем два значения для t:

1. t = (2) / 2 = 1
2. t = (-4) / 2 = -2

Теперь возвращаемся к исходному выражению sinx = t:

1. sinx = 1

Решение для этого случая: x = π/2 + 2πk, где k - целое число.

2. sinx = -2

Это уравнение не имеет решений, так как синус не может быть меньше -1 или больше 1.

б) 3sin²x - cosx + 1 = 0

Для упрощения обозначим sinx = t, тогда уравнение примет вид:

3t² - cosx + 1 = 0

Здесь нам нужно решить квадратное уравнение относительно t:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 3, b = -1 и c = 1:

t = (-(−1) ± √((−1)² - 4(3)(1))) / 2(3)

t = (1 ± √(1 - 12)) / 6

t = (1 ± √(−11)) / 6

Так как дискриминант отрицателен, у нас нет действительных решений для t, а следовательно, и для sinx.

Таким образом, уравнение 3sin²x - cosx + 1 = 0 не имеет действительных решений.