Question

Решите уравнение 2sin(pi+x)=sin2x-3sin^3 x

Answer 1

$\mathtt{2sin(\pi+x)=sin2x-3sin^3x;~sinx(3sin^2x-2-2cosx)=0;~}\\\mathtt{sinx(3cos^2x+2cosx-1)=0;~sinx(cosx-\frac{1}{3})(cosx+1)=0}$

итак, перед нами совокупность:  $\mathtt{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{sinx=0}\\\mathtt{cosx=\frac{1}{3}}\\\mathtt{cosx=-1}\end{array}\right}$; решаем её

$\mathtt{\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{x=\frac{\pi}{2}(2n+1),n\in Z}\\\mathtt{x=бarccos(\frac{1}{3})+2\pi n,n\in Z}\\\mathtt{x=(2n+1)\pi,n\in Z}\end{array}\right}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте перепишем его в виде одного выражения:

2sin(π + x) = sin(2x) - 3sin^3(x)

Используем тригонометрические тождества для упрощения уравнения:

1. sin(π + x) = sin(π)cos(x) + cos(π)sin(x) = -sin(x)
2. sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь уравнение примет вид:

2(-sin(x)) = 2sin(x)cos(x) - 3sin^3(x)

Умножим все части уравнения на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

2sin(x) = 3sin^3(x) - 2sin(x)cos(x)

Теперь преобразуем уравнение и факторизуем:

2sin(x) + 2sin(x)cos(x) = 3sin^3(x)

2sin(x)(1 + cos(x)) = 3sin^3(x)

Теперь, если sin(x) = 0, то одним из решений будет x = 0 (или x = kπ, где k - целое число).

А теперь рассмотрим случай, когда sin(x) ≠ 0. Тогда можем поделить обе части на sin(x):

1 + cos(x) = 3sin^2(x)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

cos^2(x) = 3sin^2(x)

Заменим cos^2(x) на (1 - sin^2(x)):

1 - sin^2(x) = 3sin^2(x)

Теперь соберем все слагаемые синусов влево, чтобы получить квадратное уравнение:

4sin^2(x) - 1 = 0

Решим квадратное уравнение:

sin^2(x) = 1/4

sin(x) = ±√(1/4)

sin(x) = ±1/2

Таким образом, мы получили два случая:

1. sin(x) = 1/2:

x = π/6 + 2πk, где k - целое число.

2. sin(x) = -1/2:

x = 5π/6 + 2πk, где k - целое число.

В итоге, уравнение имеет два набора решений:

1. x = π/6 + 2πk, где k - целое число.
2. x = 5π/6 + 2πk, где k - целое число.