Question

Найти возрастания и убывания функции: у=х^2 * е^-х

Answer 1

Y'=2x*e^(-x)-e^(-x)*x^2
y'=e^(-x)*(2-x)*x
e^(-x)*(2-x)*x=0
x1=0, x2=2
----------_____++++++++_____-----------        знак производной
      ↓        0              ↑            2          ↓              поведение функции
xmin=x1=0
ymin=y(x1)=0
xmax=x2=2
ymax=y(2)=4/e^2
Ответ: функция убывает при x∈(-∞;0)∪(2;+∞) и возрастает при х∈(0;2)

Answer 2

Для нахождения возрастания и убывания функции у = x^2 * e^(-x), нужно проанализировать её производную и определить знак производной на различных интервалах.

1. Найдем производную функции у по переменной х: у' = d/dx (x^2 * e^(-x)).

Для нахождения производной этой функции, применим правило производной произведения: (ф * г)' = ф' * г + ф * г',

где ф' и г' - производные функций ф и г соответственно.

у' = (x^2)' * e^(-x) + x^2 * (e^(-x))' = (2x) * e^(-x) + x^2 * (-e^(-x)) = 2x * e^(-x) - x^2 * e^(-x).

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю: 2x * e^(-x) - x^2 * e^(-x) = 0.

Вынесем общий множитель e^(-x): e^(-x) * (2x - x^2) = 0.

Таким образом, два фактора могут привести производную к нулю: a) e^(-x) = 0 (это невозможно, так как экспоненциальная функция никогда не обращается в ноль); b) 2x - x^2 = 0.

Решим уравнение 2x - x^2 = 0: x(2 - x) = 0.

x = 0 или x = 2.

Таким образом, у' = 0 при x = 0 и x = 2.

3. Определим знак производной на различных интервалах:

3.1. При x < 0: Возьмем произвольное значение x1 < 0, например, x1 = -1. Подставим его в у': у'(-1) = 2 * (-1) * e^(-(-1)) - (-1)^2 * e^(-(-1)) = -2 * e - e = -3e.

Таким образом, на интервале x < 0 производная отрицательна (-3e < 0). Это значит, что функция убывает на этом интервале.

3.2. При 0 < x < 2: Возьмем произвольное значение x2, где 0 < x2 < 2, например, x2 = 1. Подставим его в у': у'(1) = 2 * 1 * e^(-1) - 1^2 * e^(-1) = 2e^(-1) - e^(-1) = e^(-1).

Таким образом, на интервале 0 < x < 2 производная положительна (e^(-1) > 0). Это значит, что функция возрастает на этом интервале.

3.3. При x > 2: Возьмем произвольное значение x3 > 2, например, x3 = 3. Подставим его в у': у'(3) = 2 * 3 * e^(-3) - 3^2 * e^(-3) = 6e^(-3) - 9e^(-3) = -3e^(-3).

Таким образом, на интервале x > 2 производная отрицательна (-3e^(-3) < 0). Это значит, что функция убывает на этом интервале.

Таким образом, краткий вывод:

• Функция убывает на интервале (-∞, 0] и [2, +∞).
• Функция возрастает на интервале (0, 2).

Для наглядности, можно построить график функции, чтобы увидеть её поведение на различных интервалах.