Question

Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии (аn), если а5 = 14, а8 = 23.

Answer 1

A5=a1+4d=14
a8=a1+7d=23
тогда (7d-4d)=23-14
3d=9
d=9:3=3
a1=14-4*3=14-12=2
S10=(10/2)*(2*2+3*9)=5*(4+27)=5*31= 155

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо найти первый член (а1) и разность прогрессии (d) арифметической прогрессии (аn). Затем, используя формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии, мы сможем найти сумму десяти первых членов.

Общий член арифметической прогрессии выражается формулой:

аn = а1 + (n - 1) * d,

где аn - n-ый член прогрессии, а1 - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, n - номер члена прогрессии.

Мы имеем информацию о двух членах:

а5 = 14, а8 = 23.

Для нахождения первого члена (а1) и разности (d), мы можем составить систему уравнений:

Система уравнений: а1 + 4d = 14, а1 + 7d = 23.

Теперь, вычтем первое уравнение из второго:

(а1 + 7d) - (а1 + 4d) = 23 - 14, 3d = 9, d = 3.

Теперь, подставим значение разности d в любое из исходных уравнений, чтобы найти первый член арифметической прогрессии (а1):

а1 + 4 * 3 = 14, а1 + 12 = 14, а1 = 14 - 12, а1 = 2.

Таким образом, первый член (а1) равен 2, а разность (d) равна 3.

Теперь, найдем сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, используя формулу для суммы:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n = (n/2) * (a1 + a_n),

где S_n - сумма первых n членов прогрессии, n - количество членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, a_n - n-ый член прогрессии.

Теперь подставим значения и найдем сумму десяти первых членов:

S_10 = (10/2) * (a1 + a_10), S_10 = 5 * (2 + a_10).

Теперь найдем 10-ый член прогрессии (a_10) используя формулу для общего члена:

a_n = a1 + (n - 1) * d, a_10 = 2 + (10 - 1) * 3, a_10 = 2 + 9 * 3, a_10 = 2 + 27, a_10 = 29.

Теперь, подставим значение a_10 в формулу для суммы:

S_10 = 5 * (2 + 29), S_10 = 5 * 31, S_10 = 155.

Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 155.