Question

Докажите, что выражение c^2-2c+12 может принимать лишь положительные значения

Answer 1

Найдем через дискриминант
D= $\sqrt{-44}$
Но квадратный корень из отрицательного числа не существует на множестве действительных чисел
Поэтому с ∉ R

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение $c^2 - 2c + 12$ может принимать лишь положительные значения для любого $c$, давайте воспользуемся методом завершения квадратов.

Выражение $c^2 - 2c + 12$ можно представить как квадратный трехчлен, дополнив его до полного квадрата. Для этого добавим и вычтем $1$ внутри скобки:

$c^2 - 2c + 12 = c^2 - 2c + 1 + 11$

Теперь выделяем первые три члена внутри скобки как квадрат:

$c^2 - 2c + 1 + 11 = (c - 1)^2 + 11$

Таким образом, мы получили сумму квадрата выражения $c - 1$ и положительного числа $11$.

Так как квадрат любого числа неотрицательный (а точнее, всегда неотрицательный), и $11$ является положительным числом, то сумма квадрата и положительного числа тоже будет положительной.

Таким образом, выражение $c^2 - 2c + 12$ может принимать лишь положительные значения для любого $c$.