Question

Y=(x^3-3x^2)^4 Найдите точки экстремума функции и определите их характер

Answer 1

Решение дано на фото.

Answer 2

Для определения точек экстремума функции, нужно найти её производные и приравнять их к нулю.

1. Найдем первую производную функции Y по x: Y'(x) = 4(x^3-3x^2)^3 * (3x^2 - 6x)

2. Найдем вторую производную функции Y по x (для определения характера экстремумов): Y''(x) = 12(x^3-3x^2)^2 * (2x^2 - 2x) + 4(x^3-3x^2)^3 * (6x - 6)

Теперь найдем точки, в которых производная Y'(x) равна нулю:

4(x^3-3x^2)^3 * (3x^2 - 6x) = 0

Уравнение имеет два множителя:

1. 4(x^3-3x^2)^3 = 0 Отсюда получаем одну точку: x = 0

2. 3x^2 - 6x = 0 Решая это уравнение, получаем еще две точки: x = 0 и x = 2

Теперь определим характер экстремумов в найденных точках, используя вторую производную Y''(x):

1. Подставим x = 0 в Y''(x): Y''(0) = 12(0^3-30^2)^2 * (20^2 - 20) + 4(0^3-30^2)^3 * (6*0 - 6) = -24 < 0

   В данной точке x = 0 у функции Y(x) есть локальный максимум.

2. Подставим x = 2 в Y''(x): Y''(2) = 12(2^3-32^2)^2 * (22^2 - 22) + 4(2^3-32^2)^3 * (6*2 - 6) = 48 > 0

   В данной точке x = 2 у функции Y(x) есть локальный минимум.

Итак, мы нашли две точки экстремума функции Y(x):

1. Локальный максимум в точке x = 0.
2. Локальный минимум в точке x = 2.