Question

Найдите наименьшее значение многочлена X^2+ 2x + 21 + 2y^2+ 8y A) 12 Б) 5 В) 21 Г) 1

Answer 1

$x^2+2x+21+2y^2+8y=\\\\ =x^2+2x+1+20+2[y^2+4y]=\\\\ =(x+1)^2+20+2[y^2+4y+4-4]=\\\\ =(x+1)^2+20+2[(y+4)^2-4]=\\\\ =(x+1)^2+20+2(y+4)^2-8=\\\\ =(x+1)^2+2(y+4)^2+12.$

Минимальное значение будет достигаться при условии:
$(x+1)^2=0\ \ and\ \ (y+4)^2=0$

$(x^2+2x+21+2y^2+8y)_{min}=0+2*0+16=12$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения многочлена X^2 + 2x + 21 + 2y^2 + 8y, нужно найти минимальные значения для переменных x и y.

Мы знаем, что квадратичный многочлен имеет ветви параболы, которые открываются вверх, если коэффициент при x^2 положительный (как в данном случае, где коэффициент равен 1). Также у нас есть квадратный член для y (2y^2), который также имеет положительный коэффициент (2).

Минимальное значение многочлена достигается в его вершине. Чтобы найти координаты вершины параболы с уравнением ax^2 + bx + c, используем формулу x = -b/(2a). В нашем случае, a = 1 (коэффициент при x^2), b = 2 (коэффициент при x).

Таким образом, x = -2/(2*1) = -1.

Теперь найдем значение y, подставив x = -1 в уравнение для y:

y = 21 + 2y^2 + 8y

1 = 21 + 2(-1)^2 + 8(-1)

1 = 21 + 2 - 8

1 = 15

Таким образом, минимальное значение многочлена равно:

X^2 + 2x + 21 + 2y^2 + 8y = (-1)^2 + 2(-1) + 21 + 2(1)^2 + 8(1) = 1 + (-2) + 21 + 2 + 8 = 30

Ответ: минимальное значение многочлена равно 30. Выбора из предложенных вариантов нет, поэтому ответа среди предложенных вариантов нет.