Question

сумма второго, третьего и четвертого членов арифметической прогрессии равно 12. сумма, третьего, четвертого и пятого ее членов равна 21. Найдите первый и разность этой прогрессии

Answer 1

Составляем систему 
$\left \{ {{a_2+a_3+a_4=12} \atop {a_3+a_4+a_5=21}} \right. \left \{ {{a_1+d+a_1+2d+a_1+3d=12} \atop {a_1+2d+a_1+3d+a_1+4d=21}} \right.$
Вычитаем
$- \left \{ {{3a_1+6d=12} \atop {3a_1+9d=21}} \right. \\ 3a_1+6d-3a_1-9d=12-21 \\ -3d = -9 \\ d = 3$
Находим первый член
$3a_1 + 6d = 12 \\ 3(a_1+2d)=12 \\ a_1+2d=4 \\ a_1 = 4 - 2d \\ a_1 = 4-2 \cdot 3 \\ a_1 = 4 - 6 = -2$

Answer 2

$a_n=a_1+d(n-1)$

----------------------
$a_2+a_3+a_4=12\\ a_3+a_4+a_5=21$
----------------------
$a_3+a_4+a_5-(a_2+a_3+a_4)=21-12=9\\ a_1+d+a_1+2d+a_1+3d=12\\ --------------\\ a_5-a_2=9\\ 3a_1+6d=12\\ ---------------\\ a_1+4d-(a_1+d)=9\\ a_1+2d=4\\ ---------------\\ 3d=9\\ a_1=4-2d\\ ---------------\\ d=3\\ a_1=4-2*3=4-6=-2\\ ----------------\\ a_1=-2\ \ \ d=3$

Answer 3

Пусть первый член арифметической прогрессии равен a, а разность прогрессии равна d.

Тогда второй член прогрессии будет (a + d), третий член - (a + 2d), четвертый член - (a + 3d), и пятый член - (a + 4d).

Условие "сумма второго, третьего и четвертого членов арифметической прогрессии равно 12" приводит к уравнению:

(a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 12.

Условие "сумма третьего, четвертого и пятого членов равна 21" приводит к уравнению:

(a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) = 21.

Теперь решим эту систему уравнений:

1. (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 12 3a + 6d = 12 a + 2d = 4 (Уравнение 1)

2. (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) = 21 3a + 9d = 21 a + 3d = 7 (Уравнение 2)

Теперь выразим значение a из уравнения 1:

a = 4 - 2d (Уравнение 3)

Подставим значение a из уравнения 3 в уравнение 2:

4 - 2d + 3d = 7

Теперь найдем значение d:

d = 7 - 4 d = 3

Теперь, когда мы нашли значение d, подставим его обратно в уравнение 3, чтобы найти значение a:

a = 4 - 2 * 3 a = 4 - 6 a = -2

Таким образом, первый член прогрессии (а) равен -2, а разность (d) равна 3.