Question

Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 26,а произведение второго и четвёртого ее членов равно 160.Найдите сумму шести первых членов прогрессии.Заранее спасибо!

Answer 1

По условию имеем: 
a₁+a₅=26
a₂*a₄=160
Распишем 2й, 4й и 5й члены прогрессии через a₁:
a₂=a₁+d
a₄=a₁+3d
a₅=a₁+4d
Выполним подстановку в первое равенство:
a₁+(a₁+4d)=26
2a₁+4d=26
упростим, т.е. разделим обе части равенства на 2:
a₁+2d=13
Далее, выполним подстановку во второе равенство:
(a₁+d)*(a₁+3d)=160
Для сокращения расчетов во второй скобке распишем выражение:
(a₁+d)*((a₁+2d)+d)=160
Из первого равенства было получено, что a₁+2d=13. Подставим это значение во вторую скобку, получим:
(a₁+d)*(13+d)=160
Выразим a₁ из первого равенства:
a₁=13-2d и подставим в последнее равенство:
(13-2d+d)*(13+d)=160
(13-d)(13+d)=160
Произведение в левой части равенства свернем по формуле разности квадратов:

13²-d²=160

169-d²=160

d²=9

d=3

a₁=13-2d

a₁=13-2*3

a₁=13-6

a₁=7

Далее по формуле суммы первых n членов прогрессии находим:

Sn=(2*a₁+(n-1)*d)/2*n 

S₆=(2*7+5*3)/2*6

S₆=(14+15)/2*6

S₆=29/2*6

S₆=29*3

S₆=87

Answer 2

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как "a" и её разность (шаг) как "d". Тогда шестой член прогрессии будет равен "a + 5d".

Условия задачи дают нам два уравнения:

1. a + a + 4d = 26 (сумма первого и пятого членов равна 26).
2. (a + d) * (a + 3d) = 160 (произведение второго и четвёртого членов равно 160).

Давайте решим эти уравнения:

1. 2a + 4d = 26
2. 2(a + d) * (a + 3d) = 160

Используем первое уравнение, чтобы найти выражение для "a" через "d":

2a = 26 - 4d a = (26 - 4d) / 2 a = 13 - 2d

Подставим это выражение во второе уравнение:

2((13 - 2d) + d) * ((13 - 2d) + 3d) = 160 2(13 - d)(13 + d) = 160 (13 - d)(13 + d) = 80

Раскроем скобки:

169 - d^2 = 80

Теперь решим это квадратное уравнение:

d^2 = 169 - 80 d^2 = 89 d = √89 (положительное значение, так как прогрессия является арифметической)

Теперь найдём значение "a":

a = 13 - 2d a = 13 - 2√89

Теперь у нас есть значения "a" и "d", и мы можем найти шестой член прогрессии:

Шестой член: a + 5d Шестой член: (13 - 2√89) + 5√89

Теперь нам нужно найти сумму первых шести членов прогрессии:

Сумма шести членов = (n/2) * (a + l), где "n" - количество членов, "a" - первый член, "l" - последний член

Сумма шести членов = (6/2) * (a + (a + 5d)) Сумма шести членов = 3 * (13 - 2√89 + 13 + 5√89)

Сумма шести членов = 3 * (26 + 3√89)

Таким образом, сумма шести первых членов арифметической прогрессии равна 78 + 9√89.