Question

РЕШИТЕ СРОЧНО!!! Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке: a)y-3x^2 +6x +3 на [-1;2] б)y=-x^3 - 3x^2 + 4 на [-4;2]

Answer 1

А) найдем производную
y'=-6x+6
приравняем её к нулю
y'=0
-6x+6=0
-x=-1
x=1
____[-1__+___1___-__2]_____>x
Очевидно, что наименьшее значение нашей функции будет достигаться в y(-1)=-6
А наибольшее в точки y(2)=-12+12+3=3 но не забываем, что у нас еще есть точка 1, проверяем y(1)=-3+9=6 => наибольшее значение функции

б)Действуем по аналогии y'=-3x^2-6x

y'=0
-3x^2-6x=0
3x^2+6x=0
3x(x+2)=0
x=0 и x=-2

____[-4___-2___+____0___-____2]_________>x
y(0)=4
y(-2)=0
y(2)=-16 - наименьшее
y(-4)=20 - наибольшее

Answer 2

Для решения задачи о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке, нам необходимо найти критические точки и значения функции на концах отрезка.

a) Функция y = -3x^2 + 6x + 3 на отрезке [-1;2]:

Шаг 1: Найдем производную функции y по x и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

y = -3x^2 + 6x + 3 y' = -6x + 6

-6x + 6 = 0 x = 1

Шаг 2: Проверим, что это точка экстремума, а не точка перегиба, с помощью второй производной:

y'' = -6

Так как вторая производная постоянна и отрицательна, то это точка максимума.

Шаг 3: Теперь найдем значения функции на концах отрезка [-1;2]:

При x = -1: y = -3(-1)^2 + 6(-1) + 3 y = -3 - 6 + 3 y = -6

При x = 2: y = -3(2)^2 + 6(2) + 3 y = -12 + 12 + 3 y = 3

Сравним значения в критической точке и на концах отрезка:

Максимальное значение: y = 3 (при x = 2) Минимальное значение: y = -6 (при x = -1)

b) Функция y = -x^3 - 3x^2 + 4 на отрезке [-4;2]:

Шаг 1: Найдем производную функции y по x и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

y = -x^3 - 3x^2 + 4 y' = -3x^2 - 6x

-3x^2 - 6x = 0 -3x(x + 2) = 0

x = 0 или x = -2

Шаг 2: Проверим, что это точки экстремума, а не точки перегиба, с помощью второй производной:

y'' = -6x - 6

При x = 0: y'' = -6(0) - 6 = -6 (отрицательное значение, значит, это точка максимума)

При x = -2: y'' = -6(-2) - 6 = 6 (положительное значение, значит, это точка минимума)

Шаг 3: Теперь найдем значения функции на концах отрезка [-4;2]:

При x = -4: y = -(-4)^3 - 3(-4)^2 + 4 y = -(-64) - 3(16) + 4 y = 64 - 48 + 4 y = 20

При x = 2: y = -(2)^3 - 3(2)^2 + 4 y = -8 - 12 + 4 y = -16

Сравним значения в критических точках и на концах отрезка:

Максимальное значение: y = 20 (при x = -4) Минимальное значение: y = -16 (при x = 2)

Таким образом, на отрезке [-1;2] для функции y = -3x^2 + 6x + 3 наибольшее значение равно 3, а наименьшее значение равно -6. А на отрезке [-4;2] для функции y = -x^3 - 3x^2 + 4 наибольшее значение равно 20, а наименьшее значение равно -16.