Question

Докажите,что при любом натуральном m значение выражения (m+7)2-m2 делится на 7

Answer 1

Решение смотри на фотографии

Answer 2

Решение:
$(m + 7)^{2} - m^{2} = m^{2} + 14m + 49 - m^{2} = 14m + 49 = 7*(2m + 7)$
Так как один из множителей делится на 7, то и всё произведение кратно семи, что и требовалось доказать.

Answer 3

Для доказательства того, что выражение $(m+7)^2 - m^2$ делится на 7 для любого натурального числа $m$, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая. При $m = 1$: $(1+7)^2 - 1^2 = 8^2 - 1 = 64 - 1 = 63$.

63 делится на 7, так как $63 = 9 \times 7$.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для $m = k$, где $k$ - некоторое натуральное число.

То есть, предположим, что $(k+7)^2 - k^2$ делится на 7.

Шаг 3: Доказательство для $m = k+1$. Теперь докажем, что утверждение верно и для $m = k+1$.

$(k+1+7)^2 - (k+1)^2 = (k+8)^2 - (k+1)^2 = k^2 + 16k + 64 - k^2 - 2k - 1$. Упростим выражение: $14k + 63$.

Так как предполагается, что $(k+7)^2 - k^2$ делится на 7, то предположение индукции дает нам: $(k+7)^2 - k^2 = 7a$, где $a$ - некоторое целое число.

Теперь заметим, что: $14k + 63 = 7(2k+9)$.

Поскольку $(2k+9)$ также является целым числом, мы видим, что $(k+1+7)^2 - (k+1)^2$ делится на 7.

Шаг 4: Заключение. Мы показали, что если выражение $(k+7)^2 - k^2$ делится на 7 для некоторого $k$, то оно также делится на 7 для $k+1$.

Таким образом, мы можем применить принцип математической индукции, чтобы утверждение было верным для всех натуральных чисел $m$.