Question

Найти производную: 3sin(2x+п/2)

Answer 1

$f(x)=3sin(2x+\frac{\pi}{2})=3cos(2x)\\\\ f'(x)=[3cos(2x)]'=3*[cos(2x)]'=3*[-sin(2x)]*[2x]'=\\\\ =-3sin(2x)*[2]=-6sin(2x)$

Answer 2

Для нахождения производной функции $f(x) = 3\sin(2x + \frac{\pi}{2})$ по переменной $x$ следует применить правило дифференцирования сложной функции. Это правило также называется правилом цепочки (chain rule).

Правило цепочки гласит, что если у нас есть функция $u$ зависящая от переменной $x$, и функция $v$ зависящая от переменной $u$, тогда производная функции $v(u(x))$ по $x$ выражается как произведение производной $v$ по $u$ и производной $u$ по $x$:

$\frac{{dv(u)}}{{dx}} = \frac{{dv}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}$

В нашем случае, $u = 2x + \frac{\pi}{2}$ и $v = \sin(u)$.

Теперь найдем производные:

$\frac{{du}}{{dx}} = 2$

$\frac{{dv}}{{du}} = \cos(u)$

Теперь применяем правило цепочки:

$\frac{{df}}{{dx}} = \frac{{dv(u)}}{{dx}} = \frac{{dv}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}} = \cos(u) \cdot 2$

Так как $u = 2x + \frac{\pi}{2}$, то $\cos(u) = \cos(2x + \frac{\pi}{2})$.

Таким образом, производная функции $f(x) = 3\sin(2x + \frac{\pi}{2})$ по переменной $x$ равна:

$\frac{{df}}{{dx}} = 2 \cdot \cos(2x + \frac{\pi}{2})$