Question

Для уравнения ax² -(a+1)x+2a-1 укажите значения параметра a , при которых уравнение: а) не имеет корней; б) имеет единственный корень, найдите этот корень; в) имеет более одного корня.

Answer 1

Ах²-(а+1)х+2а-1=0
а) уравнение не имеет корней, если дискриминант <0
Д=(-(а+1))²-4*а*(2а-1)=а²+2а+1-8а²+4а=-7а²+6а+1
-7а²+6а+1<0 |•(-1)
7а²-6а-1>0
7(а-1)(а+1/7)>0
ає(-∞;-1/7)U(1;+∞)

Answer 2

Для анализа количества корней уравнения, нам нужно использовать дискриминант (D) уравнения квадратного типа ax² - bx + c = 0, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

Для уравнения ax² - (a+1)x + 2a-1, значения коэффициентов такие: a = a b = -(a+1) c = 2a-1

а) Уравнение не имеет корней, если дискриминант (D) меньше нуля (D < 0). Дискриминант для этого уравнения равен: D = b² - 4ac = (-(a+1))² - 4a(2a-1) = (a+1)² - 8a² + 4a = a² + 2a + 1 - 8a² + 4a = -7a² + 6a + 1

Таким образом, уравнение не имеет корней при условии, что D < 0: -7a² + 6a + 1 < 0

б) Уравнение имеет единственный корень, если дискриминант (D) равен нулю (D = 0). Дискриминант для этого уравнения равен: D = b² - 4ac = (-(a+1))² - 4a(2a-1) = (a+1)² - 8a² + 4a = a² + 2a + 1 - 8a² + 4a = -7a² + 6a + 1

Таким образом, уравнение имеет единственный корень при условии, что D = 0: -7a² + 6a + 1 = 0

в) Уравнение имеет более одного корня, если дискриминант (D) больше нуля (D > 0). Дискриминант для этого уравнения равен: D = b² - 4ac = (-(a+1))² - 4a(2a-1) = (a+1)² - 8a² + 4a = a² + 2a + 1 - 8a² + 4a = -7a² + 6a + 1

Таким образом, уравнение имеет более одного корня при условии, что D > 0: -7a² + 6a + 1 > 0

Теперь решим каждое из этих условий для определения значений параметра a.

а) Уравнение не имеет корней: -7a² + 6a + 1 < 0

б) Уравнение имеет единственный корень: -7a² + 6a + 1 = 0

в) Уравнение имеет более одного корня: -7a² + 6a + 1 > 0

Решим каждое из этих уравнений по отдельности:

а) Уравнение не имеет корней: -7a² + 6a + 1 < 0

Для решения этого неравенства, найдем корни квадратного уравнения -7a² + 6a + 1 = 0:

D = 6² - 4*(-7)*1 = 36 + 28 = 64

D > 0, значит уравнение имеет два различных вещественных корня:

a = (-6 + √64)/(-2*7) = (6 + 8)/(-14) = -14/14 = -1

a = (-6 - √64)/(-2*7) = (6 - 8)/(-14) = -2/-14 = 1/7

Ответ: Уравнение не имеет корней при a < -1 и при a > 1/7.

б) Уравнение имеет единственный корень: -7a² + 6a + 1 = 0

Для решения этого уравнения, найдем корень квадратного уравнения -7a² + 6a + 1 = 0:

D = 6² - 4*(-7)*1 = 64

D = 0, значит уравнение имеет единственный корень:

a = -b/2a = -6/(2*(-7)) = -6/-14 = 3/7

Ответ: Уравнение имеет единственный корень при a = 3/7.

в) Уравнение имеет более одного корня: -7a² + 6a + 1 > 0

Для решения этого неравенства, найдем корни квадратного уравнения -7a² + 6a + 1 = 0:

D = 6² - 4*(-7)*1 = 64

D > 0, значит уравнение имеет два различных вещественных корня:

a = (-6 + √64)/(-2*7) = (6 + 8)/(-14) = -14/14 = -1

a = (-6 - √64)/(-2*7) = (6 - 8)/(-14) = -2/-14 = 1/7

Ответ: Уравнение имеет более одного корня при -1 < a < 1/7.