Question

Найти проможутки возростания и спадания, и найти точки екструму функцит. f(x)=3x+5 / x-4

Answer 1

F(x) = 3x+5/x-4
f'(x) = 3-5/x^2
1) 3-5/x^2 > 0 => 5/x^2 < 3 => x^2 > 5/3 => x ∈ (-∞; -√(5/3)) ∪ (√(5/3); +∞)
2) 3-5/x^2 < 0 => 5/x^2 > 3 => x^2 < 5/3 => x ∈ (-√(5/3); √(5/3))
3) 3-5/x^2 = 0 => 5/x^2 = 3 => x^2 = 5/3 => x ∈ {-√(5/3); √(5/3)}
Ответ: f(x) возрастает, при x ∈ (-∞; -√(5/3)) ∪ (√(5/3); +∞)
            f(x) убывает, при x ∈ (-√(5/3); √(5/3))
            точки экстремума f(x) : {(-√(5/3); f(-√(5/3)); (√(5/3); f(√(5/3))}

Answer 2

Для анализа функции f(x) = (3x + 5) / (x - 4) и поиска промежутков возрастания, убывания и точек экстремума, следует выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции: Функция f(x) будет неопределенной, если знаменатель (x - 4) равен нулю, так как деление на ноль недопустимо. Найдем значение x, при котором знаменатель равен нулю: x - 4 = 0 x = 4

   Область определения функции: x ≠ 4 (функция не определена при x = 4).

2. Найти производную функции f'(x): f(x) = (3x + 5) / (x - 4)

   Применим правило дифференцирования частного функций: f'(x) = [(3x + 5)' * (x - 4) - (3x + 5) * (x - 4)'] / (x - 4)^2 f'(x) = [(3 * 1) * (x - 4) - (3x + 5) * 1] / (x - 4)^2 f'(x) = (3x - 12 - 3x - 5) / (x - 4)^2 f'(x) = (-17) / (x - 4)^2

3. Найти точки, где производная равна нулю (критические точки): Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение: -17 / (x - 4)^2 = 0

   Уравнение не имеет решений, так как числитель не может быть равен нулю.

4. Определить интервалы возрастания и убывания: Из знака производной можно определить интервалы возрастания и убывания функции. Для этого рассмотрим знак производной на разных интервалах:

   a) x < 4: Подставим в производную значение, меньшее 4: f'(x) = (-17) / (x - 4)^2 f'(3) = (-17) / (3 - 4)^2 f'(3) = -17 < 0

   Значит, функция убывает на интервале (-∞, 4).

   b) 4 < x: Подставим в производную значение, большее 4 (исключая точку x = 4 из-за неопределенности функции в этой точке): f'(x) = (-17) / (x - 4)^2 f'(5) = (-17) / (5 - 4)^2 f'(5) = -17 < 0

   Значит, функция убывает на интервале (4, +∞).

5. Найти точки экстремума: Так как производная всегда отрицательна, нет точек экстремума.

Итак, результаты анализа функции f(x) = (3x + 5) / (x - 4):

• Область определения: x ≠ 4
• Интервалы убывания: (-∞, 4) и (4, +∞)
• Точки экстремума: отсутствуют, так как функция всегда убывает.