Question

При каких значениях параметра А функция y=x^3-3x убывает на промежутке [А+1;А+2]

Answer 1

Для начала найдём просто промежутки убывания.( производная на этих промежутках отрицательна)
y' = 3x² - 3
ищем корни:   3х² -3= 0,⇒ 3х² = 3, ⇒ х² = 1, ⇒ х = +-1
-∞         -1              1            +∞
        +             -             +          это знаки y' = 3x² - 3
Итак, функция убывает при х∈(-1;1)
Просят:  (а +1; а +2)
сравниваем и пишем: а = -2

Answer 2

Для убывания функции $y = x^3 - 3x$ на промежутке $[A + 1, A + 2]$ требуется, чтобы производная функции на этом промежутке была отрицательной.

Давайте найдем производную функции $y = x^3 - 3x$: $y' = 3x^2 - 3.$

Теперь подставим значения $x$ из интервала $[A + 1, A + 2]$ и приравняем $y'$ к нулю, чтобы найти точки экстремума на данном промежутке: $3x^2 - 3 = 0.$

Решим это уравнение: $3x^2 = 3, \quad \text{поделим обе стороны на } 3$ $x^2 = 1, \quad \text{извлечем квадратный корень}$ $x = \pm 1.$

Таким образом, у нас есть две точки экстремума, $x = 1$ и $x = -1$.

Теперь определим знак производной $y'$ между этими точками экстремума.

1. Подставим $x = 0$ в $y'$: $y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3$. Это означает, что между точками экстремума $x = 1$ и $x = -1$ производная $y'$ отрицательна.

2. Проверим знак производной на концах интервала. Подставим $x = A + 1$ в $y'$: $y'(A + 1) = 3(A + 1)^2 - 3$. И подставим $x = A + 2$ в $y'$: $y'(A + 2) = 3(A + 2)^2 - 3$.

Если значение $y'$ в точке $A + 1$ больше нуля, а в точке $A + 2$ меньше нуля, то между этими точками функция убывает.

Таким образом, чтобы функция $y = x^3 - 3x$ убывала на промежутке $[A + 1, A + 2]$, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. $y'(0) = -3 < 0$ (чтобы между точками экстремума был отрицательный знак производной).
2. $y'(A + 1) > 0$ и $y'(A + 2) < 0$ (чтобы на концах интервала был разный знак производной).

Зная значение параметра $A$, можно проверить эти условия и определить, выполняются ли они для данной функции.