Question

6. Все члены геометрической прогрессии – различные натуральные числа, заключенные между числами 210 и 350. а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов? б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

Answer 1

А) да, может. Пример (на самом деле, единственный — с точностью до обратной перестановки) :
216, 252, 294, 343
(знаменатель прогрессии равен ⁷⁄₆)

б) нет, не может. Предположим, что такая прогрессия существует. Пусть первый член прогрессии равен A, знаменатель q = m/n — рациональное число, причём натуральные числа m и n взаимно просты (дробь несократима) . Для определённости будем считать прогрессию возрастающей, т. е. m>n (в противном случае достаточно записать члены прогрессии в обратном порядке) .

Тогда прогрессия будет выглядеть так:
A, Am/n, Am²/n², Am³/n³, Am⁴/n⁴.
Поскольку числа m и n взаимно просты, а последний член прогрессии является натуральным числом, то A делится нацело на n⁴:
A = an⁴.
Ещё раз запишем все члены прогрессии: an⁴, amn³, am²n², am³n, am⁴.
Итак, нам нужно найти такие натуральные числа a, m, n, чтобы
{ an⁴ ≥ 210,
{ am⁴ ≤ 350,
{ m > n.
Поскольку a≥1, то m⁴ ≤ 350; m≤4 (5⁴ = 625 — слишком много) . Значит, m/n≥(⁴⁄₃) ⇒ (m/n)⁴ ≥ (²⁵⁶⁄₈₁).
Но ²⁵⁶⁄₈₁ > ³⁵⁰⁄₂₁₀ = ⁵⁄₃
(значения можно грубо оценить: в левой стороне неравенства число, большее 2, а в правой — число, меньшее 2).

А (m/n)⁴ ≤ ³⁵⁰⁄₂₁₀. Полученное противоречие доказывает невозможность выполнения условий задачи.

Answer 2

Да, такая геометрическая прогрессия может состоять из четырех и пяти членов.

Для нахождения такой прогрессии, необходимо найти все возможные комбинации четырех и пяти различных натуральных чисел, заключенных между 210 и 350.

а) Пример геометрической прогрессии из четырех членов: Например, возьмем прогрессию с первым членом 210 и знаменателем 2: 210, 2102, 2102^2, 210*2^3 = 210, 420, 840, 1680. Все эти числа находятся между 210 и 350 и представляют собой четыре различных натуральных числа, составляющих геометрическую прогрессию.

б) Пример геометрической прогрессии из пяти членов: Например, возьмем прогрессию с первым членом 210 и знаменателем 2: 210, 2102, 2102^2, 2102^3, 2102^4 = 210, 420, 840, 1680, 3360. Все эти числа также находятся между 210 и 350 и представляют собой пять различных натуральных чисел, образующих геометрическую прогрессию.

Таким образом, геометрическая прогрессия может состоять как из четырех, так и из пяти членов.